Du hast Recht. Die zwei Zeitintervalle$t_2 - t_1$Und$t_4 - t_3$wird gleich sein. Der Antrag muss nicht berücksichtigt werden$BC$weil sie die Lichtgeschwindigkeit immer mit dem gleichen Wert messen. Da ihre relativen Positionen festgelegt sind, benötigt das Licht immer die gleiche Zeit, um von einem zum anderen zu gelangen. Was anders sein wird, ist die Länge der Zeitintervalle gemessen an der$AD$System. Weil sie das beobachten$BC$aufgrund der Längenkontraktion näher beieinander liegen, messen sie eine kürzere Zeit, bis der Lichtimpuls abgeht$B$Zu$C$oder umgekehrt.

Ihre Frage ist, wie ich sie gelesen habe, diese sehr enge:

Wie erklären wir die Bewegung von$B$Und$C$in Pulsrichtung$P_1$und in entgegengesetzter Pulsrichtung$P_2$?

Und um dies zu tun, lade ich Sie ein, es im A/D-Rahmen einzurichten und dann eine Lorentz-Transformation in den B/C-Bezugsrahmen durchzuführen. Dies ist der einfachste Weg, um wirklich ein Gefühl dafür zu bekommen, was passiert.

Kurzer Überblick über Lorentz-Transformationen

Es ist hilfreich, sich vorzustellen, dass ein Haufen Laborassistenten in der Nähe von Uhren stehen, die in Bezug auf den A/D-Rahmen ruhen, und alle synchronisiert sind und mit der gleichen Geschwindigkeit ticken: Wenn diese Dinge im B/C-Labor passieren, Wir stellen uns vor, dass jemand, der an der nächsten A/D-Uhr steht und sie sieht, sofort die A/D-Zeit aufschreibt, zu der er gesehen hat, dass diese Sache passiert ist.

Jetzt schreiben wir ihre Positionen und Zeiten mit kleinen "Primzahlen" auf, damit sich dieser A/D-Beobachter an irgendeiner Position befindet$x'$und sie schreiben die Zeit auf$t'$für diese Veranstaltung; im B/C-Labor denken die Beobachter, dass die Position ist$x$und die Zeit ist$t$. Angenommen, die beiden Frames wählen ein gemeinsames Ereignis aus$x' = 0, t'=0, x=0, t=0$dann ist der richtige Weg, um zwischen diesen Koordinaten zu transformieren:

Das Problem aufstellen, einige A / D -Zeiten berechnen

Stellen Sie sich nun vor, dass dieses B/C-Labor mit dieser Geschwindigkeit dahinfährt$v$, und ich werde die Leute an den verschiedenen Stellen Alice, Bob, Carol, Darren nennen. Zuerst überholt Carol Alice, dann überholt Bob irgendwann Alice$\tau'$danach, und sie haben alle ihre Uhren im Voraus synchronisiert, so dass beide Frames damit übereinstimmen$t' = t = 0$genau in diesem Moment, und im B/C-Labor ist Bob daher immer an Position$x=0$während Alice im A/D-Referenzrahmen immer wie ist$x'=0.$Immer noch bei mir? Diesmal sieht Alice,$\tau'$, ist der scheinbare Abstand zwischen Bob und Carol in ihrem Bezugssystem, wenn wir mit multiplizieren$v$. Es stellt sich heraus, dass dies nicht der Abstand ist, den Bob und Carol zwischen sich messen.

Nach dieser magischen gemeinsamen Null-Übereinstimmung von Zeit und Position, wenn Bob zu einem neuen Zeitpunkt an Alice vorbeikommt$t_0',$Sagen wir 5 Sekunden später sendet Alice einen Lichtimpuls in Richtung Bob an$B$. Es kommt nicht genau 5 Sekunden danach an, weil Bob sich in Alices Referenzrahmen vorwärts bewegt; stattdessen müssen wir lösen$v~t'=c~(t' - t_0'),$Die$v~t'$das sein$x'$Position von Bob, und$c~(t' - t_0')$das sein$x'$Position des Lichtimpulses, der bei gestartet wurde$x'=0$Wenn$t' = t_0'$. Wir finden also, dass es gesendet wird$t_0'$und dann geht es an Bob vorbei$t_1' = t_0'/(1 - \beta),$zu welcher Zeit er ist$x_1' = v~t_1'.$Dann fährt der Lichtimpuls fort, Carol zu treffen$C,$was es zeitweise tut$t_2' = (t_0' + \beta~\tau')/(1 - \beta),$An diesem Punkt ist sie in Position$x_2' = v~(t_2' + \tau').$Die Zeit, die Alice zwischen diesen beiden Ereignissen berechnet, ist$\beta~\tau'/(1-\beta),$perfekt im Einklang mit der Idee, dass die Lichtgeschwindigkeit in ihrem Bezugssystem konstant ist und das Raumschiff eine Länge hat$v~\tau'$und entfernt sich von ihrem Lichtpuls in ihrem Bezugssystem.

Wandeln Sie diese in B / C -Zeiten um

Aber jetzt stecken wir diese in unsere Lorentz-Transformation: Wir stellen fest, dass dieses Licht Bob an Position passiert$x_1 = \gamma~(v~t_1' - v~t_1') = \gamma~0 = 0$(Natürlich muss er in dieser Position sein!) zu seiner Zeit$t_1 = \gamma~(t_1' - v^2 t_1'/c^2) = t_1'/\gamma.$Alice und Bob sind sich also grundsätzlich nicht einig darüber, wann dieses Ding Bob getroffen hat. Diese Nummer$\gamma$ist immer größer als 1, also laufen Bobs Uhren aus Alices Sicht langsam . (Aus Bobs Sicht gehen Alices Uhren auch langsam!) Eigentlich denken wir normalerweise anders darüber, dass Bob eine Zeit zwischen zwei Ereignissen misst, die an derselben Position in seinen Koordinaten liegen (Alice geht an ihm vorbei, Licht geht vorbei ihm), und so misst er eine spezielle Zeit zwischen ihnen, die als "Eigenzeit" zwischen ihnen bezeichnet wird. Für alle anderen wird diese Zeitspanne in ein längeres Zeitintervall "ausgedehnt", als es sonst sein sollte.

Jedenfalls haben wir das$x_1 = 0$Und$t_1 = t_1'/\gamma = t_0'/(\gamma\cdot(1-\beta)).$Jetzt trifft das Licht auf Carol, und unsere Koordinatentransformation sagt das$x_2 = \gamma~(x_2' - v~t_2') = \gamma~(v~t_2' + v~\tau' - v~t_2') = \gamma~v~\tau'.$Denken Sie also daran, dass Alice die Länge des B/C-Labors als gemessen hat$v~\tau',$das ist ein korrekter Ausdruck in ihrem Referenzrahmen, aber es gibt eine "richtige Länge" zum B/C-Labor, das tatsächlich ist$\gamma~v~\tau'$, etwas länger, als sie sah, und was sie sah, war, dass diese richtige Länge auf eine kürzere Distanz "zusammengezogen" wurde. (Die richtige Länge zwischen zwei Punkten ist ein Konzept, das nur Sinn macht, wenn sich diese beiden Punkte mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, sonst denkt jeder, dass sie sich näher/weiter voneinander entfernen. Es ist der Abstand zwischen ihnen, gemessen von jemandem, der sich bewegt zusammen mit ihnen in der gleichen Geschwindigkeit.)

Schließlich ist die Zeit, in der es Carol trifft, gekommen$t_2 = \gamma~(t_2' - v~x_2'/c^2),$Ersetzen im einfachen Ausdruck$x_2' = v~(t_2' + \tau')$gibt einfach$t_2 = t_2'/\gamma - \gamma~\beta^2~\tau'.$Erinnern$c~\beta~\tau'$ist die Länge des B/C-Labors, wie es von Alice gesehen wird; wir sehen den bekannten Zeitdilatationsfaktor$t_2/\gamma$aber es gibt auch einen etwas anderen Effekt, der darauf hinausläuft, dass laut Alice die Uhren, die Bob und Carol benutzen, nicht nur langsam ticken, sondern nicht einmal miteinander synchron sind . Tatsächlich mag es Sie überraschen zu wissen, dass dies der einzige interessante Effekt in der Relativitätstheorie ist, die Effekte von Zeitdilatation und Längenkontraktion sind nur die aggregierten Ergebnisse davon.

Der Moment der Wahrheit

Jetzt haben wir schon gerechnet$t_2' - t_1' = \tau'/(1-\beta).$Aber was ist mit$t_2 - t_1$? Es ist:

Aber wir wissen, dass die$1/\gamma^2$Faktor auf der linken Seite ist$1 - \beta^2 = (1 - \beta)(1 + \beta),$so dass sich komplizierter Ausdruck in Klammern auf der rechten Seite als zu genau vereinfacht herausstellt$1$. Die Zeit ist also gerade$\gamma~\beta~\tau'$und die zurückgelegte Strecke ist gerecht$\gamma~v~\tau'$und daher bewegt sich das Lichtpaket im B/C-Rahmen auch mit Geschwindigkeit$c$. Es hat in beiden Referenzrahmen die gleiche Geschwindigkeit.

Sie können die andere Richtung ausarbeiten, wenn Sie möchten, aber ich gebe Ihnen die Pointe: die Begriffe, die alle waren$1/(1-\beta)$alle werden$1/(1 + \beta)$und am Ende bekommt man$\frac1{\gamma^2~(1 + \beta)} + \beta = 1$in der gleichen Weise.