Beweisen Sie y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y′,z=z′ in der Lorentz-Transformation

Die Galilei-Transformation, bei der Sie in diesem Fall nur einen Boost entlang der x-Achse betrachten

$x ' = x - vt$

$y' =y$

$z' = z$

$t' =t$

Wenn es nur eine Bewegung entlang der x-Achse gibt , dann sicherlich$y' = y$Und$z' = z$, da es (wieder einmal) keine Bewegung entlang der y- oder z-Achse gibt. So$dy = 0$Und$dz = 0$, was bedeutet, dass das invariante Intervall

$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = dx^2 + 0 + 0 = dx^2$

Und

$ds^2 = ds'^2 = dx^2 =dx'^2$

Sie haben auch erwähnt, dass Sie das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit verwenden wollten, aber Sie erwähnen auch, dass Sie die Galileische oder Newtonsche Relativitätstheorie verwenden. Galilean geht davon aus, dass sich Geschwindigkeiten wie addieren würden

$\vec c' = \vec c + \vec v$

Aufgrund dieses Prinzips ist die Lichtgeschwindigkeit jedoch unabhängig von der relativen Bewegung der (Trägheits-) Referenzsysteme und

$\vec c + \vec v = \vec c$

in der speziellen (nicht galiläischen) Relativitätstheorie. Eine Folge dieses Prinzips sind die Lorentz-Transformationen, die auf Ihren Fall nicht anwendbar wären. Und ja, bei der speziellen Relativitätstheorie werden weder die Schwerkraft noch irgendwelche Beschleunigungen berücksichtigt. Dazu benötigen Sie die Allgemeine Relativitätstheorie. Ihre Frage ist ein bisschen "allgemein" und widersprüchlich, und ich bin mir nicht sicher, was Sie genau tun, aber hoffentlich habe ich genügend Informationen bereitgestellt, um Ihre Frage zu beantworten.

Die Transformationsgleichungen zwischen kartesischen Koordinaten zweier Inertialsysteme$\Sigma (x, y, z, t)$Und$\Sigma' (x ', y', z ', t')$muss linear sein:

$$\left( \begin{split} x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14}t \\ y' = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24}t \\ z' = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34}t \\ t' = a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44}t \\ \end{split} \right.$$ Wenn die Referenzrahmen$\Sigma (x, y, z, t)$Und$\Sigma' (x ', y', z ', t')$In der Standardkonfiguration haben wir zwei aufeinander abgestimmte Pläne:

$\forall x,z,t: y=0 \leftrightarrow y'=0 \qquad \text{therefore: } y' = a_{22} y$

$\forall x,y,t: z=0 \leftrightarrow z'=0 \qquad \text{therefore: } z' = a_{22} z$

Außerdem muss die dritte koordinierte Ebene im Anfangszeitpunkt gleich sein:

$\forall y,z: (t=0,x=0) \leftrightarrow (t'=0,x'=0)$ $\qquad \text{therefore: } x' = a_{11}x + a_{14}t \qquad t' =a_{41}x +a_{44} t$

Also durch Übernahme der Standardkonfiguration z$\Sigma$Und$\Sigma'$Wir vereinfachen die Transformationen erheblich (Löschen$10$Parameter):

$$\left( \begin{split} & x' = a_{11}x + a_{14}t \\ & y' = a_{22}y \\ & z' = a_{33}z \\ & t' = a_{41}x + a_{44}t \\ \end{split} \right.$$

Durch Umkehren des Zeitpfeils werden die beiden Frames$\Sigma$Und$\Sigma'$ihre Rollen tauschen: Daher erhält man die inverse Transformation von vornherein durch Änderung des Vorzeichens der Zeitvariablen$t$Und$t'$und das Vorzeichen der räumlichen Variablen unverändert lassen:

$$\left( \begin{split} & x = +a_{11}x' - a_{14}t' \\ & y = a_{22}y' \\ & z = a_{33}z' \\ & t = -a_{41}x' + a_{44}t' \\ \end{split} \right.$$ Das Produkt der direkten und der inversen Transformation muss die Identität ergeben: $$\left( \begin{split} & x' = \ldots \\ & y' = a_{22}y = a_{22}^2 y' \qquad \to \quad a_{22}^2 =1 \\ & z' = a_{33}z = a_{33}^2 z' \qquad \to \quad a_{33}^2 =1 \\ & t' = \ldots \\ \end{split} \right.$$ Die Wahl des positiven Vorzeichens$a_ {22} = + 1$Und$a_ {33} = + 1$entspricht der gleichen Orientierung für die Achsen$y, y '$Und$z, z'$.

Wenn Sie dieses Argument auch für die Variablen entwickeln$x$Und$t$nur eine Variable$a_{11}=a_{44}=\gamma$bleibt unbekannt. Es ist bemerkenswert, dass solche vorformatierten Transformationsgleichungen direkt aus dem Konzept des Trägheitsbezugssystems selbst folgen!

Mit einer absoluten Zeit schreibst du$\gamma=1$(Galileo-Transformationen), wenn Sie die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit postulieren, für die Sie leicht erhalten$\gamma$der bekannte Lorentzfaktor.