Existenzbeweis der Lorentz-Transformation von lichtähnlichen zu lichtähnlichen Vektoren

(Ich habe vorher einen trivialen Fehler gemacht. Ihre Aussage ist wahr, hier ist der Beweis.)

ich nehme an$c=1$im ganzen Beweis.

In Betracht ziehen$t\neq 0$Und$u\neq 0$zugleich lichtecht und zukunftsorientiert. Festlegen eines Minkowski-Bezugssystems mit zukunftsorientierter zeitlicher Koordinate.

In Koordinaten$t= (t^0, \vec{t})$Und$u= (u^0, \vec{u})$mit$t^0= ||\vec{t}||$Und$u^0= ||\vec{u}||$denn beide Vektoren sind zukunftsorientiert und lichtartig.

Ausnutzen einer Lorentz-Transformation$\Lambda_R$vollständig durch eine räumliche Drehung definiert $R$, wir können uns verwandeln$t= (||\vec{t}||, \vec{t})$Zu$\Lambda_R t = (||\vec{t}||, R\vec{t}) = (||R\vec{t}||, R\vec{t})$, Wo$R\vec{t}$ist parallel zu$\vec{u}$.

Abschließend ist es ausreichend zu beweisen, dass es einen Schub gibt$\Lambda_b$so dass$\Lambda_b \Lambda_R t =u$.

Der Einfachheit halber drehen wir die räumlichen Achsen unseres Bezugsrahmens, um sie zu haben$\vec{u}$Und$\vec{\Lambda_Rt}$entlang geleitet$x^3$. In diesen Koordinaten

$$\Lambda_R t = (a,0,0,a)\quad u = (b,0,0,b)\:,$$

Die Aktion des Boosts$\Lambda_b$entlang$x^3$ist für einige$\chi \in \mathbb R$,

$$\Lambda_b (a,0,0,a) = (\cosh \chi a + \sinh \chi a, 0,0, \sinh \chi a + \cosh \chi a)$$

Das Problem reduziert sich auf das Finden$\chi \in \mathbb R$so dass

$$\cosh \chi a + \sinh \chi a =b$$

Wo$a,b>0$sind gegeben. Nämlich

$$e^\chi a =b$$

die Lösung existiert immer und ist offensichtlich

$\chi = \ln (b/a)$.

Zusammenfassend, wenn wir uns zuerst bewerben$\Lambda_R$und dann$\Lambda_p$Zu$t$wir erhalten$u$wie gewünscht. Die Zusammensetzung$\Lambda_p \Lambda_R$ist die gesuchte Lorentz-Transformation.

Falls$t$Und$u$entgegengesetzte zeitliche Richtungen haben, muss die obige Überlegung durch Hinzufügung einer weiteren Zeitumkehroperation vervollständigt werden$t$(was auch eine Lorentz-Transformation ist) vor der Verwendung$\Lambda_R$Und$\Lambda_p$.

KOMMENTAR . Dieses Ergebnis ist interessant, weil es beweist, dass die Wirkung der Lorentz-Gruppe am Rand des Lichtkegels transitiv ist. Diese Tatsache ist jedoch falsch , wenn sie sich auf das Innere des Lichtkegels bezieht, da Lorentz-Transformationen die Lorentz-Länge von Vektoren erhalten und somit Vektoren mit unterschiedlicher Länge durch keine Lorentz-Transformation aufeinander abgebildet werden können. (Die Oberfläche des Lichtkegels ist in Übereinstimmung mit dem gefundenen Ergebnis der Grenzfall einer inneren Oberfläche von Vektoren fester Länge [eine Massenschale in Impulsdarstellung].)

Satz 1. Die Lorentz-Gruppe $O(3,1)$wirkt transitiv auf Nicht-Null-Nullvektoren.

Seit der Zeitumkehrtransformation$T:t\mapsto -t$eine Lorentz-Transformation ist, genügt es, das Folgende zu zeigen.

Satz 2. Die eingeschränkte Lorentz-Gruppe$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$wirkt transitiv auf zukunftsgerichtete Nicht-Null-Nullvektoren.

Twistor-inspirierter skizzierter Beweis von Proposition 2: Erinnern Sie sich zunächst an die folgenden Tatsachen:

1. Minkowski-4-Vektoren$\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3)$mit identifizieren kann$2\times 2$Hermitesche Matrizen$\sigma$, siehe z. B. die Phys.SE-Antwort von twistor59 hier oder meine Phys.SE-Antwort hier .

2. Die Determinante$\det(\sigma)=||\tilde{x}||^2$ist die quadratische Minkowski-Form.

3. Die Spur${\rm tr}(\sigma)=2x^0$ist die doppelte Zeitkoordinate.

4. Ein Gruppenelement$g\in SL(2,\mathbb{C})$in der Doppelhülle wirkt die eingeschränkte Lorentz-Gruppe auf Hermitian$2\times 2$Matrizen$\sigma$über$\rho(g)\sigma= g\sigma g^{\dagger}$.

Kehren wir nun zum Setup von OP zurück. Lichtartig bedeutet das$\sigma$hat Nulldeterminante, dh sie hat höchstens Rang 1. Mit anderen Worten, es gibt zwei$2\times 1$Spaltenvektoren$\lambda,\mu\in \mathbb{C}^2$so dass die$2\times 2$Matrix

$$\sigma~=~\lambda\mu^{\dagger}.$$ Hermitizität von$\sigma$zeigt, dass$\lambda || \mu$. Annehmen, dass$\sigma$ist nicht null. Dann hat es genau den Rang 1. Zukunftsgerichtet bedeutet, dass der verbleibende Nicht-Null-Eigenwert von$\sigma$ist positiv, vgl. Punkt 3. ($\lambda$ist der entsprechende Eigenvektor.) Das können wir natürlich annehmen$\lambda=\mu$, möglicherweise nach einer Neuskalierung.

Zusammenfassend existiert ein linker Weyl-Spinor ungleich Null

$$\lambda~\in~ (\mathbb{C}^2)^{\times}~:=~\mathbb{C}^2\backslash\{(0,0)\},$$ so, dass die$2\times 2$Matrix$\sigma$kann geschrieben werden als $$\sigma~=~ \lambda \lambda^{\dagger}.$$

Da ist ein$U(1)$Phase-Mehrdeutigkeit bei der Wahl von$\lambda$. Die doppelte Abdeckung$SL(2,\mathbb{C})$wirkt transitiv $\rho(g)\lambda=g\lambda$An$(\mathbb{C}^2)^{\times}$über regulär$2\times 2$Matrizen$g$: Für alle Paare$\lambda, \mu\in (\mathbb{C}^2)^{\times}$wir können ein finden$2\times 2$Matrix$g\in SL(2,\mathbb{C})$mit Determinante 1 so dass$\mu= g\lambda$. Insgesamt zeigt dies Satz 2.$\Box$