Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?

Question

Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?

Danu

Bei der Überprüfung einiger grundlegender spezieller Relativitätstheorien bin ich auf dieses Problem gestoßen:

Aus der Definition der Eigenzeit:

c^{2} d τ^{2} = c^{2} d t^{2} - d x^{2}

$c^2d\tau^2=c^2dt^2-dx^2$ Ich konnte die Zeitdilatationsformel mithilfe von ableiten

x = v t

$x=vt$ :

c^{2} d τ^{2} = c^{2} d t^{2} - v^{2} d t^{2} = c^{2} d t^{2} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}) \to d τ = d t \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = d t / γ

$c^2d\tau^2=c^2dt^2-v^2dt^2=c^2dt^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\rightarrow d\tau = dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=dt/\gamma$

Nun würde ich sehr gerne in der Lage sein, die Längenkontraktionsformel auf ähnliche Weise herzuleiten, und bin der festen Überzeugung, dass dies möglich sein sollte. Die Definition des invarianten Intervalls lautet:

d s^{2} = d x^{2} - c^{2} d t^{2}

$ds^2=dx^2-c^2dt^2$ verwenden

t = \frac{x}{v}

$t=\frac{x}{v}$ Ich habe es versucht:

d s^{2} = d x^{2} - \frac{c^{2}}{v^{2}} d x^{2} = d x^{2} (1 - \frac{c^{2}}{v^{2}}) \to d s = d x \sqrt{1 - \frac{c^{2}}{v^{2}}}

$ds^2=dx^2-\frac{c^2}{v^2}dx^2=dx^2\left(1-\frac{c^2}{v^2}\right)\rightarrow ds=dx\sqrt{1-\frac{c^2}{v^2}}$

Hier stecke ich fest: Ich sehe nicht, wie dies in einen Lorentz-Faktor umgewandelt werden kann ...

Jegliche Hilfe, die es mir ermöglicht, zum gewünschten Ergebnis zu gelangen $ds=\gamma dx$ würde sehr geschätzt werden.

Jerry Schirmer

Der sauberste Weg, dies zu tun, besteht darin, die zu verallgemeinern

2 - D

$2-D$ Drehung zu a

2 - D

$2-D$ Hyperboische Rotation, indem Sie alle Ihre Sinus- und Cosinus-Werte durch hyperbolische Sinus- und Cosinus-Werte substituieren und dann die Definition vornehmen

v / c = \tanh ϕ

$v/c = \tanh \phi$ , und verwenden Sie dies, um Ihren Drehwinkel zu eliminieren. Die Ergebnisse werden einfach herausspringen.

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Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?

Der sauberste Weg, dies zu tun, besteht darin, die zu verallgemeinern $2-D$ Drehung zu a $2-D$ Hyperboische Rotation, indem Sie alle Ihre Sinus- und Cosinus-Werte durch hyperbolische Sinus- und Cosinus-Werte substituieren und dann die Definition vornehmen $v/c = \tanh \phi$ , und verwenden Sie dies, um Ihren Drehwinkel zu eliminieren. Die Ergebnisse werden einfach herausspringen.

John Rennie · Answer 1

Angenommen, wir haben einen langen Stab $l$ in Ruhe im nicht grundierten Rahmen und wir beobachten einen Beobachter im grundierten Rahmen, der vorbeirast:

Rahmen

Wir nehmen an, dass die Ursprünge in beiden Frames zusammenfallen, wenn der Beobachter im grundierten Frame das erste Ende des Stabs passiert, also Ereignis A $(0, 0)$ in beiden Rahmen.

Im ungrundierten Rahmen ist das hintere Ende der Stange an $x = l$ , und wir sehen, wie der rasende Beobachter daran vorbeifährt $t = l/v$ , also ist Ereignis B $(l/v, l)$ . Das Intervall zwischen diesen Ereignissen ist daher:

s^{2} = \frac{c^{2} l^{2}}{v^{2}} - l^{2}

$s^2 = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2$

Im grundierten Rahmen sieht der stationäre Betrachter den langen Stab $l'$ mit hoher Geschwindigkeit auf ihn zu $v$ . Die $x$ Die Koordinate beider Ereignisse ist Null, und die Zeit von Ereignis B ist es $t = l'/v$ , also ist das Intervall:

s^{' 2} = \frac{c^{2} l^{' 2}}{v^{2}}

$s'^2 = \frac{c^2 l'^2}{v^2}$

Die Intervalle müssen gleich sein, $s^2 = s'^2$ , so:

\frac{c^{2} l^{' 2}}{v^{2}} = \frac{c^{2} l^{2}}{v^{2}} - l^{2}

$\frac{c^2 l'^2}{v^2} = \frac{c^2l^2}{v^2} - l^2$

und eine schnelle Umordnung ergibt:

l^{' 2} = l^{2} (1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})

$l'^2 = l^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2} \right)$

l^{'} = l \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{l}{γ}

$l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } = \frac{l}{\gamma}$

Antwort auf Kommentar:

Um die Zeitdilatation zu berechnen, verwenden Sie ein anderes Paar von Ereignissen. Im ungrundierten Rahmen haben Sie eine Uhr, die mit einem Punkt tickt $T$ , stationär im Ursprung. Die Ereignisse für den ersten und zweiten Tick sind also $(0, 0)$ und $(T, 0)$ . Das Intervall $s^2 = c^2 T^2$ .

Wie üblich wählen wir den grundierten Frame so, dass die Ursprünge der Frames übereinstimmen und der erste Tick bei ist $(0, 0)$ . Der zweite Haken ist bei $t = T'$ , und weil sich die Uhr mit Geschwindigkeit bewegt $v$ , der $x$ Koordinate des zweiten Ticks ist $x = vT'$ geben $(T', vT')$ . Das Intervall ist also $s^2 = c^2T'^2 - v^2T'^2$ .

Wie zuvor setzen wir die Intervalle gleich:

c^{2} T^{2} = c^{2} T^{' 2} - v^{2} T^{' 2}

$c^2 T^2 = c^2T'^2 - v^2 T'^2$

oder:

T^{' 2} = T^{2} \frac{c^{2}}{c^{2} - v^{2}}

$T'^2 = T^2 \frac{c^2}{c^2 - v^2}$

Teilen Sie jetzt einfach die Ober- und Unterseite der RHS durch $c^2$ und ziehe die Quadratwurzel, um zu erhalten:

T^{'} = T \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}

$T' = T \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Dumme Frage, aber warum nehmen Sie im Prime-Frame an, dass die Länge l' und die Geschwindigkeit v ist? Warum nicht die Länge von l und die Geschwindigkeit von v'?
>Das Intervall zwischen diesen Ereignissen ist also: 𝑠2=𝑐2𝑙2𝑣2−𝑙2 Warum zum Quadrat?

Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?

Danu

Jerry Schirmer

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John Rennie

Thomas

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