Problem mit dem Beweis, dass es für jeden zeitartigen Vektor ein Inertialkoordinatensystem gibt, in dem seine Ortskoordinaten Null sind

Question

Problem mit dem Beweis, dass es für jeden zeitartigen Vektor ein Inertialkoordinatensystem gibt, in dem seine Ortskoordinaten Null sind

Ansonī Bōdo

Ich lese Vorlesungsunterlagen zur speziellen Relativitätstheorie und habe ein Problem mit dem Beweis des folgenden Satzes.

Vorschlag . Wenn $X$ zeitartig ist, dann existiert ein Inertialkoordinatensystem, in dem $X^1 = X^2 = X^3 = 0$ .

Der Beweis besagt, dass als $X$ ist zeitartig, es hat Bestandteile der Form $(a, p\,\mathbf{e})$ , Wo $\mathbf{e}$ ist ein räumlicher Einheitsvektor und $\lvert a \rvert > \lvert p \rvert$ . Dann betrachtet man die folgenden vier Vierervektoren:

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} (A, P e) & \frac{1}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} (P, A e) & (0, Q) & (0, R), \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(a, p\,\mathbf{e}) & & \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(p, a\,\mathbf{e}) & & (0, \mathbf{q}) & & (0, \mathbf{r})\,, \end{align*}$ Wo

q

$\mathbf{q}$ Und

r

$\mathbf{r}$ sind so gewählt

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ bilden eine orthonormale Triade im euklidischen Raum. Dann kommt der Beweis zu dem Schluss, dass diese Vierervektoren eine explizite Lorentz-Transformation definieren, und hört dort auf.

Für mich wird diese explizite Lorentz-Transformation durch die folgende Matrix dargestellt.

[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} A & \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{1} & \frac{A}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{1} & Q^{1} & R^{1} \\ \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{2} & \frac{A}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{2} & Q^{2} & R^{2} \\ \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{3} & \frac{A}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} e^{3} & Q^{3} & R^{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & q^1 & r^1 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & q^2 & r^2 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & q^3 & r^3 \\ \end{bmatrix}$ Multiplizieren Sie jedoch den Spaltenvektor

(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3})

$(X^0, X^1, X^2, X^3)$ durch die obige Matrix scheint keinen Spaltenvektor zu ergeben, dessen räumliche Komponenten Null sind.
Was habe ich verpasst?

Valter Moretti

Eine bessere Strategie besteht darin, zuerst die räumlichen Koordinaten zu drehen, damit nur die räumliche Komponente z nicht verschwindet, und schließlich einen Boost entlang z zu verwenden.

Ansonī Bōdo

Ich stimme dir zu und habe festgestellt, dass man nach der ersten Drehung einen Geschwindigkeitsschub braucht

v = - \frac{p c}{a}

$v = -\frac{pc}{a}$ in z-Richtung, um die Arbeit zu erledigen. Ich bin jedoch immer noch neugierig auf den algebraischeren Beweis, der in meinem Beitrag skizziert wird.

Valter Moretti

Die von Ihnen geschriebene Matrix transformiert den Spaltenvektor

(1, 0, 0, 0)^{t}

$(1,0,0,0)^t$ Zu

X

$X$ . Die Matrix, nach der Sie suchen, ist die Umkehrung der von Ihnen geschriebenen. Es verwandelt sich

X

$X$ zum zeitlichen Einheitsvektor eines anderen Referenzrahmens.

Antworten (3)

Problem mit dem Beweis, dass es für jeden zeitartigen Vektor ein Inertialkoordinatensystem gibt, in dem seine Ortskoordinaten Null sind

Eine bessere Strategie besteht darin, zuerst die räumlichen Koordinaten zu drehen, damit nur die räumliche Komponente z nicht verschwindet, und schließlich einen Boost entlang z zu verwenden.
Ich stimme dir zu und habe festgestellt, dass man nach der ersten Drehung einen Geschwindigkeitsschub braucht $v = -\frac{pc}{a}$ in z-Richtung, um die Arbeit zu erledigen. Ich bin jedoch immer noch neugierig auf den algebraischeren Beweis, der in meinem Beitrag skizziert wird.
Die von Ihnen geschriebene Matrix transformiert den Spaltenvektor $(1,0,0,0)^t$ Zu $X$ . Die Matrix, nach der Sie suchen, ist die Umkehrung der von Ihnen geschriebenen. Es verwandelt sich $X$ zum zeitlichen Einheitsvektor eines anderen Referenzrahmens.

A. Bordg · Answer 1

Eigentlich kann Ihre Matrix stark vereinfacht werden

M = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} A & \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{P}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} & \frac{A}{\sqrt{A^{2} - P^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ seit

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ bildet also einen orthonormalen Dreiklang

e_{1} = q_{2} = r_{3} = 1

$e_1 = q_2 = r_3 = 1$ und die anderen Koeffizienten sind Null.
Nun, wie von Valter Moretti in seinem Kommentar hervorgehoben, ist die Matrix, nach der Sie suchen, die Umkehrung dieser Matrix. Eine einfache Rechnung ergibt die Umkehrung.

M^{- 1} = \frac{1}{(A^{2} - P^{2})^{\frac{3}{2}}} [\begin{matrix} A (A^{2} - P^{2}) & - P (A^{2} - P^{2}) & 0 & 0 \\ - P (A^{2} - P^{2}) & A (A^{2} - P^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (A^{2} - P^{2})^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (A^{2} - P^{2})^{\frac{3}{2}} \end{matrix}]

$M^{-1} = \frac{1}{(a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{bmatrix} a(a^2 - p^2) & -p(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ -p(a^2 - p^2) & a(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$ Schließlich überprüft man das Ergebnis leicht wie folgt.

M^{- 1} \times [\begin{matrix} A \\ P \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sqrt{A^{2} - P^{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$M^{-1} \times \begin{bmatrix} a \\ p \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{a^2 - p^2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Beachten Sie die Einnahme

q

$\mathbf{q}$ Und

r

$\mathbf{r}$ so dass

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ eine orthonormale Triade bildet, entspricht nur einer räumlichen Drehung

X^{1}

$X^1$ ist nicht verschwindend. Daher beginnt ein mehr geometrischer, weniger algebraischer Beweis mit einer räumlichen Drehung und fährt dann mit einem Schub entlang fort

x

$x$ -Achse.

Javier · Answer 2

Die Matrix, die Sie geschrieben haben, nimmt die Standardbasis $\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$ in die Basis aufgebaut aus $\mathbf{X}$ . Daher zu nehmen $\mathbf{X}$ in etwas proportional zu $(1,0,0,0)$ , müssen Sie die inverse Matrix verwenden.

Frobenius · Answer 3

Die 3+1-Lorentz-Transformation ist

\begin{aligned} (01a) & X^{'} & = X + \frac{γ_{u}^{2}}{C^{2} (γ_{u} + 1)} (u \cdot X) u - \frac{γ_{u} u}{C} C T \\ (01b) & C T^{'} & = γ_{u} (C T - \frac{u \cdot X}{C}) \\ (01c) & γ_{u} & = {(1 - \frac{u^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,t \tag{01a}\label{01a}\\ c\,t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,t\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c}\right) \tag{01b}\label{01b}\\ \gamma_{\mathrm u} & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{01c}\label{01c} \end{align}$ und in differentieller Form

\begin{aligned} (02a) & D X^{'} & = D X + \frac{γ_{u}^{2}}{C^{2} (γ_{u} + 1)} (u \cdot D X) u - \frac{γ_{u} u}{C} C D T \\ (02b) & C D T^{'} & = γ_{u} (C D T - \frac{u \cdot D X}{C}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)} \left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,\mathrm dt \tag{02a}\label{02a}\\ c\, \mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,\mathrm dt\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c}\right) \tag{02b}\label{02b} \end{align}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Für zeitähnliche Vektoren

Könnten Sie einchecken? $\eqref{02a}$ was wäre die menge $\mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}$ wenn Sie in derselben Gleichung ersetzen

\begin{matrix} (03) & u ⟶ \frac{D X}{D T} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ unter der Annahme

\begin{matrix} (04) & “ \frac{D X}{D T} “ < C \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert <c \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Für raumartige Vektoren

Könnten Sie einchecken? $\eqref{02b}$ was wäre die menge $\mathrm d t^{\boldsymbol{\prime}}$ wenn Sie in derselben Gleichung ersetzen

\begin{matrix} (05) & u ⟶ \frac{C^{2}}{{“ \frac{D X}{D T} “}^{2}} \frac{D X}{D T} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{c^2}{\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert^2}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{05}\label{05} \end{equation}$ unter der Annahme

\begin{matrix} (06) & “ \frac{D X}{D T} “ > C \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert >c \tag{06}\label{06} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

NACHTRAG

Aus $\eqref{02a}$ Und $\eqref{03}$ Wenn
$\begin{matrix} (07) & X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ X_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X \\ X_{4} \end{matrix}] mit {“ X “}^{2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} > 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{>}0 \tag{07}\label{07} \end{equation}$ ist ein zeitartiger 4-Vektor in einem Inertialsystem $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , dann in jedem Inertialsystem $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ mit Geschwindigkeit bewegen $\begin{matrix} (08) & u = \frac{X}{X_{4}} C = (\frac{X_{1}}{X_{4}}, \frac{X_{2}}{X_{4}}, \frac{X_{3}}{X_{4}}) C \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{08}\label{08} \end{equation}$ seine Raumkomponente ist Null $\begin{matrix} (09) & X^{'} = [\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \\ X_{3}^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] mit X_{4}^{' 2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}'\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \boldsymbol{0}\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } x'^{2}_4\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3 \tag{09}\label{09} \end{equation}$
Aus $\eqref{02b}$ Und $\eqref{05}$ Wenn
$\begin{matrix} (10) & X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ X_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X \\ X_{4} \end{matrix}] mit {“ X “}^{2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} < 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{<}0 \tag{10}\label{10} \end{equation}$ ist ein raumartiger 4er-Vektor in einem Inertialsystem $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , dann in jedem Inertialsystem $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ mit Geschwindigkeit bewegen $\begin{matrix} (11) & u = {“ \frac{X}{X_{4}} “}^{- 2} \frac{X}{X_{4}} C = {“ \frac{X}{X_{4}} “}^{- 2} (\frac{X_{1}}{X_{4}}, \frac{X_{2}}{X_{4}}, \frac{X_{3}}{X_{4}}) C \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{11}\label{11} \end{equation}$ seine Zeitkomponente ist Null $\begin{matrix} (12) & X^{'} = [\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \\ X_{3}^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ 0 \end{matrix}] mit “ X^{'} “^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} - X_{4}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ 0\vphantom{x'_4} \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } \Vert\mathbf{x}'\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_1\boldsymbol{+}x^2_2\boldsymbol{+}x^2_3\boldsymbol{-}x^2_4 \tag{12}\label{12} \end{equation}$

Problem mit dem Beweis, dass es für jeden zeitartigen Vektor ein Inertialkoordinatensystem gibt, in dem seine Ortskoordinaten Null sind

Ansonī Bōdo

Valter Moretti

Ansonī Bōdo

Valter Moretti

Antworten (3)

A. Bordg

Ansonī Bōdo

Javier

Frobenius

Wie leite ich die Lorentz-Kontraktion aus dem invarianten Intervall ab?

Ich kann mein Verständnis der Längenkontraktion nicht mit der Lorentz-Transformation in Einklang bringen

Können im Zwillingsparadoxon Lichtsignale zwischen Zwillingen verwendet werden, um herauszufinden, wann ihre richtigen Zeiten waren, als die Lichtsignale gesendet wurden?

Wann sind Ereignisse rahmenunabhängig und warum?

Was ist falsch an dieser Argumentation bezüglich der speziellen Relativitätstheorie?

Was ist ein Ereignis in der Speziellen Relativitätstheorie?

Zweidimensionales Lorentz-Geschwindigkeitstransformationsproblem

Beweisen Sie y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y′,z=z′ in der Lorentz-Transformation

Reiner Lorentz-Boost; transponieren ≠≠\neq invers?

Wie schnell muss man reisen, um aufgrund relativistischer Effekte ein Lichtjahr in einem Jahr zu reisen?