Lorentz-Geschwindigkeitstransformation mit Tensornotation [geschlossen]

Question

Lorentz-Geschwindigkeitstransformation mit Tensornotation [geschlossen]

Lukas Polson

Also versuche ich, die Lorentz-Velocity-Transformation zu beweisen:

{v_{X}}^{'} = \frac{v_{X} - u}{1 - v_{X} u / C^{2}}

${v_x}' =\frac{v_x-u}{1-v_xu/c^2}$

mit Tensornotation. In diesem Fall offensichtlich $\beta = u/c$ Und $\gamma=(1-\beta^2)^{-1/2}$ . Der Geschwindigkeitstransformationstensor kann dargestellt werden als

Λ = (\begin{matrix} γ & β γ & 0 & 0 \\ β γ & γ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\Lambda = \begin{pmatrix} \gamma & \beta \gamma & 0 & 0 \\ \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

unter der Annahme des verstärkten Rahmens $F'$ bewegt sich in der x-Richtung vom Rahmen $F$ . Ich benutze auch die folgenden zwei Fakten:

{\partial_{v}}^{'} = {Λ^{u}}_{v} \partial_{u} {X^{v}}^{'} = {(Λ^{- 1})^{v}}_{u} X^{u}

${\partial_v}' = {\Lambda^u}_v \partial_u \hspace{20mm} {x^v}'={(\Lambda^{-1})^v}_u x^u$

Wo

\partial_{u} = (\frac{1}{C} \frac{\partial}{\partial T}, \frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial j}, \frac{\partial}{\partial z})

$\partial_u = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$ .

Mein Beweis beginnt wie folgt :

{v_{X}}^{'} = C {\partial_{0}}^{'} {X^{1}}^{'} = C ({Λ^{u}}_{0} \partial_{u}) ({(Λ^{- 1})^{1}}_{σ} X^{σ})

${v_x}' = c{\partial_0}'{x^1}' = c({\Lambda^{u}}_0 \partial_u)({(\Lambda^{-1})^{1}}_{\sigma}x^{\sigma})$

ich benutze $\sigma$ um die Summe getrennt zu halten. Jetzt erweitere ich:

{v_{X}}^{'} = C ({Λ^{0}}_{0} \partial_{0} + {Λ^{1}}_{0} \partial_{1}) ({(Λ^{- 1})^{1}}_{0} X^{0} + {(Λ^{- 1})^{1}}_{1} X^{1})

${v_x}' = c({\Lambda^{0}}_0 \partial_0+{\Lambda^{1}}_0 \partial_1)({(\Lambda^{-1})^{1}}_{0}x^{0}+{(\Lambda^{-1})^{1}}_{1}x^{1})$

Das Einfügen der entsprechenden Elemente aus dem Tensor ergibt:

{v_{X}}^{'} = C (γ \frac{1}{C} \frac{\partial}{\partial T} + β γ \frac{\partial}{\partial X}) (- β γ C T + γ X)

${v_x}' = c(\gamma \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}+\beta \gamma \frac{\partial}{\partial x})(-\beta \gamma c t+\gamma x)$

= C (- β γ^{2} \frac{\partial T}{\partial T} + \frac{γ^{2}}{C} \frac{\partial X}{\partial T} - β^{2} γ^{2} C \frac{\partial T}{\partial X} + β γ^{2} \frac{\partial X}{\partial X})

$=c(-\beta \gamma^2 \frac{\partial t}{\partial t}+\frac{\gamma ^2}{c}\frac{\partial x}{\partial t} - \beta^2\gamma^2c\frac{\partial t}{\partial x}+\beta \gamma^2 \frac{\partial x}{\partial x})$

An dieser Stelle mache ich die (vielleicht falsche) Annahme, dass $\partial t/\partial x=1/v_x$ . Das Aufheben der offensichtlichen Bedingungen lässt mich mit

{v_{X}}^{'} = γ^{2} v_{X} - \frac{β^{2} γ^{2} C^{2}}{v_{X}}

${v_x}'=\gamma^2v_x -\frac{\beta ^2 \gamma^2 c^2}{v_x}$

von denen ich weiß, dass sie falsch sind.

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Eli · Answer 1

Einsteinsche Geschwindigkeitsadditionsgleichung im Minkowski-Raum

\begin{aligned} I) Wir wollen zeigen, dass die Geschwindigkeitsadditionsgleichung lautet: \\ v_{G} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{C^{2}}} \\ Wir nehmen die Koordinatentransformation zwischen (T^{'}, X^{'}) Und (T, X) (c=1) \\ [\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \end{matrix}] = \underset{L (v)}{\underset{⏟}{γ (v) [\begin{matrix} 1 & - v \\ - v & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} T \\ X \end{matrix}] \\ L (v) ist die Lorentz-Transformationsmatrix. \\ II) nehmen wir eine zusätzliche Koordinatentransformation dazwischen (T ", X ") Und (T^{'}, X^{'}) wir bekommen \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{I) We want to show that The velocity addition equation is:} \\ &v_g=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1\,v_2}{c^2}}\\ &\text{ We take the coordinate transformation between $(t'\,,x')$ and $(t\,,x)$ (c=1)}\\\\ &\begin{bmatrix} t' \\ x' \\ \end{bmatrix}=\underbrace{\gamma(v) \begin{bmatrix} 1 & -v \\ -v\ & 1\\ \end{bmatrix}}_{L(v)} \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix}\\ &\text{$L(v)$ is the Lorentz transformation matrix.} \\\\ &\text{II) we take additional coordinate transformation between $(t"\,,x")$ and $(t'\,,x')$ we get } \end{align*}$

\begin{aligned} [\begin{matrix} T " \\ X " \end{matrix}] = L (v_{2}) [\begin{matrix} T^{'} \\ X^{'} \end{matrix}] = L (v_{2}) L (v_{1}) [\begin{matrix} T \\ X \end{matrix}] & = \underset{L (v_{1}, v_{2})}{\underset{⏟}{γ (v_{1}) γ (v_{2}) [\begin{matrix} 1 & - v_{1} \\ - v_{1} & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & - v_{2} \\ - v_{2} & 1 \end{matrix}]}} [\begin{matrix} T \\ X \end{matrix}] \\ = \underset{γ (v_{1}, v_{2})}{\underset{⏟}{γ (v_{1}) γ (v_{2}) (1 + v_{1} v_{2})}} [\begin{matrix} 1 & - \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} + v_{2}} \\ - \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} + v_{2}} & 1 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align*} \begin{bmatrix} t" \\ x" \\ \end{bmatrix}=L(v_2) \begin{bmatrix} t' \\ x' \\ \end{bmatrix}= L(v_2)\,L(v_1)\, \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix} &=\underbrace{\gamma(v_1)\,\gamma(v_2)\begin{bmatrix} 1 & -v_1 \\ -v_1\ & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -v_2 \\ -v_2\ & 1\\ \end{bmatrix}}_{L(v_1\,,v_2)} \begin{bmatrix} t \\ x \\ \end{bmatrix}\\ &=\underbrace{\gamma(v_1)\,\gamma(v_2)\,(1+v_1\,v_2)}_{\gamma(v_1\,,v_2)} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{v_1+v_2}{1+v_1+v_2} \\ -\frac{v_1+v_2}{1+v_1+v_2} & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align*}$

\begin{aligned} mit: \\ γ (v_{1}, v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{1}^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 - v_{2}^{2}}} (1 + v_{1} v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v_{1} + v_{2}}{1 + v_{1} v_{2}})}^{2}}} \\ \Rightarrow \\ Die Lorentz-Transformationsmatrix zwischen (T ", X ") Und (T, X) Ist: \\ L (v_{1}, v_{2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - v_{G}^{2}}} [\begin{matrix} 1 & - v_{G} \\ - v_{G} & 1 \end{matrix}], mit: \\ v_{G} = \frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \frac{v_{1} v_{2}}{C^{2}}} Einsteinsche Geschwindigkeitsadditionsgleichung im Minkowski-Raum \end{aligned}

$\begin{align*} &\text{with:}\\\\ &\gamma(v_1\,,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-v_1^2}}\,\frac{1}{\sqrt{1-v_2^2}} (1+v_1\,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v_1+v_2}{1+v_1\,v_2}\right)^2}}\\\ &\Rightarrow\\ &\text{The Lorentz transformation matrix between $(t"\,,x")$ and $(t,x)$ is:}\\\\ &L(v_1,v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-v_g^2}} \begin{bmatrix} 1 & -v_g \\ -v_g & 1 \\ \end{bmatrix}\quad, \text{with:}\\\\ &\boxed{v_g=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1\,v_2}{c^2}}}\quad \text{Einstein velocity addition equation in Minkowski space} \end{align*}$

jowadul kader · Answer 2

4-Geschwindigkeit ist definiert als

u^{μ} = \frac{D X^{μ}}{D τ}

$u^{\mu}=\frac{dx^\mu}{d{\tau}}$

$\tau$ ändert sich bei der Transformation nicht. Es ist die richtige Zeit. so in deiner formel

v_{X^{'}} = C \partial_{0^{'}} X^{1^{'}}

$v_{x'}=c\partial_{0'}x^{1'}$ ist nicht der richtige Weg. Siehst du den Punkt?

Er will die 4-Geschwindigkeit nicht berechnen. Er will die Additionsformel herleiten.

CR Drost · Answer 3

Ich bin mir nicht 100% sicher, ob Sie dieses Ergebnis auf diese Weise erzielen können, aber es könnte möglich sein. Das wesentliche Problem besteht darin, dass Sie auf einer bestimmten Ebene ein Derivat verwenden, das mit Feldern zu tun hat, dem $\nabla$ die Lorentz-Transformationen gehorcht, aber Sie versuchen, sie zu verwenden, um eine einzelne Weltlinie zu analysieren.

Wie die traditionelle Ableitung ist nicht zu schwer; der Lorentz-Boost bewahrt den Ursprung und so kann man das Verhältnis der 4-Vektor-Komponenten nehmen $(ct, ~v_xt)$ um die dimensionslose Geschwindigkeit zu erhalten $v_x/c$ . Nach dem Schub, den Sie haben $\gamma~(ct-uv_x t/c,~v_x t-ut)$ und das Verhältnis dieser Komponenten ist nur die dimensionslose Geschwindigkeit $(v_x-u)/(c-uv_x/c)$ wie versprochen.

Für Ihren Versuch würden Sie wahrscheinlich an eine ähnliche Stelle kommen, wenn Sie es richtig machen. Ignoriere das $y,z$ Richtungen und definieren $w=ct$ und beginne mit einem Feld $f$ Fahrt mit konstanter Geschwindigkeit,

ρ (w, X) = F (X - η w) .

$\rho(w, x)=f(x-\eta w).$ Dann können Sie sicherlich die Steigung untersuchen, um sie zu finden

\begin{aligned} \nabla_{w} ρ & = - η F^{'} (X - η w), \\ \nabla_{X} ρ & = F^{'} (X - η w) . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_w\rho&=-\eta f'(x-\eta w),\\ \nabla_x\rho&=f'(x-\eta w). \end{align}$ So können wir wieder die Geschwindigkeit finden

v_{x} = η c

$v_x=\eta~c$ als Verhältnis dieser Covektorkomponenten.

Wenn Sie von dort aus beginnen und dasselbe Verhältnis nach Ihrer Lorentz-Transformation berechnen, sollten Sie das Standardergebnis ohne Ihre Verwirrung erhalten.

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Lukas Polson

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Eli

jowadul kader

md2perpe

CR Drost

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