Wie berechnet man ∂u(x2xv)∂u(x2xv)\partial_u(x^2 x_v)?

In der Regel schreibt man den Begriff zunächst vollständig aus,

$$\partial_u (x^2 ~x_v) = \partial_u (\eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~x^n~x^t),$$ dann erweitert man mit der Produktregel, $$\begin{align} \partial_u (x^2 ~x_v) =~& (\partial_u \eta_{mn})~\eta_{vt}~x^m~x^n~x^t + \eta_{mn}~(\partial_u \eta_{vt})~x^m~x^n~x^t + ~\\ & \eta_{mn}~\eta_{vt}~(\partial_u x^m)~x^n~x^t + \eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~(\partial_u x^n)~x^t +\eta_{mn}~\eta_{vt}~x^m~x^n~(\partial_u x^t). \end{align}$$ Beachten Sie, dass in der speziellen Relativitätstheorie die ersten beiden Terme wegen des metrischen Tensors Null sind $\eta$ist über die Raumzeit konstant. (In der allgemeinen Relativitätstheorie $\eta$wird $g$Und $\partial$wird $\nabla$und diese Begriffe verschwinden immer noch, aber das ist nur wahr, weil wir eine bestimmte Verbindung wählen, die sie verschwinden lässt.)

Abgesehen von$\partial_{\bullet} \eta_{\bullet\bullet} = 0$wir können auch die letzten drei Terme vereinfachen, weil wir das haben$\partial_a x^b = \delta_a^b,$das Kronecker-Delta . Dies erzwingt im ersten der drei eine Identifizierung$u=m$, so bekommt man$x_u x_v$für das erste Semester z.

Beachten Sie, dass Ihre Bauchintuition das ist$\partial_u$durch seinen Index auswählt, worauf zu reagieren ist, ist hier völlig falsch und muss aufgegeben werden.$\partial_\bullet$ist ein Raumzeitgradient, Punkt. Es gilt für alle drei$x$Begriffe, die sich alle auf die Raumzeitposition beziehen. Es hat zufällig einen niedrigeren Index, weil räumliche Gradienten immer Covektoren erzeugen, und der niedrigere Index identifiziert, dass dies ein Covektorfeld ist, kein Skalarfeld.

Zuerst führen wir eine neue Dummy-Variable für ein$x^2=x^\rho x_\rho$. Also haben wir

$$\partial_\mu(x^2x_\nu)=\partial_\mu(x^\rho x_\rho x_\nu).$$

Dann verwenden wir$\,\partial_\mu x^\rho=\delta_\mu^\rho\,$Und$\,\partial_\mu x_\rho=\eta_{\mu\rho}\,$erhalten

$$\begin{align} \partial_\mu(x^2x_\nu)&=\delta_\mu^\rho x_\rho x_\nu+x^\rho\eta_{\mu\rho}x_\nu+x^\rho x_\rho\eta_{\mu\nu}\\ &=2x_\mu x_\nu+x^2\eta_{\mu\nu}, \end{align}$$

unter der Annahme der speziellen Relativitätstheorie so$\,\eta_{\mu\nu}\,$ist konstant.