Frage zu inneren Produkten von Tensoren und Einstein-Summenkonvention

Von hier aus erkenne ich dies als Punktprodukt zwischen$F$Und$g$.

Es ist sehr schwierig, eine Antwort zu schreiben, ohne Ihren mathematischen Hintergrund zu kennen. Meiner Meinung nach näherten sich diejenigen, die vor mir geantwortet haben, der Schwierigkeit, indem sie einige Vermutungen anstellten, die sich voneinander unterschieden.

Ich war beeindruckt, als Sie von einem „Punktprodukt“ sprachen. Anscheinend haben Sie noch nie eine Zeilen-Spalten-Multiplikation von Matrizen gesehen. Wenn Sie keinen Kurs in linearer Algebra hatten, kann ich nicht verstehen, wie Sie der Tensorrechnung folgen können. Aber ich möchte positiv sein, also gebe ich Ihnen einige Hinweise, ohne die Sache zu sehr zu vereinfachen, was Ihnen nicht helfen würde.

@DanielSank hat das zu Recht gesagt$F^{\mu\rho}\,g_{\rho\nu}$ist (im Grunde) ein Matrixprodukt. Ihre Antwort zeigte, dass dies neu für Sie war. War es nicht?

Nun, Matrizen können (zeilenweise) multipliziert werden, wenn nur die Anzahl der Spalten der ersten gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten ist. In Ihrem Fall ist es in Ordnung, da alle diese Zahlen 4 sind. Und die Definition der Matrixmultiplikation ist genau das, was im Ausdruck steht$F^{\mu\rho}\,g_{\rho\nu}$, was mit der Einstein-Konvention eine Abkürzung für ist

Im konkreten Fall vereinfacht sich die Berechnung$g$diagonal ist , so dass für gegeben$\nu$es gibt nur einen Term in der Summe: den mit$\rho=\nu$. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass die vier diagonalen Komponenten von$g_{\rho\nu}$sind nicht alle$=1$. Ich nehme an, dass Sie belehrt wurden$g_{00}=-1$.

Sie summieren Matrizen in Ihrem Ausdruck. Wenn$A$Und$B$sind Matrizen, also ist$A+B$. Jedes Element$F^{\mu\rho}g_{\rho\nu}$ist selbst eine Matrix. Für alle gegeben$\rho$, sagen wir$\rho=0$du würdest haben$F^{\mu0}$, was ein Spaltenvektor ist, und$g_{0\nu}$was ein Zeilenvektor ist. Sie können das durch einfache Matrixmultiplikation sehen$\begin{pmatrix}* \\ * \\*\end{pmatrix} \begin{pmatrix}* & * &*\end{pmatrix}$ist eine Matrix, das ist das Außenprodukt und das, was Sie in jedem Term Ihrer Summe haben, womit Sie es verwechseln$\begin{pmatrix}* & * &*\end{pmatrix}\begin{pmatrix}* \\ * \\*\end{pmatrix}$, das das innere Produkt ist, und würde Ihnen eine Zahl zurückgeben.

Ich erinnere mich, dass ich als Student an meinen intuitiven Vorstellungen von Tensormanipulation hängen geblieben bin. Geometrische Bilder (z. B. Matrizenmultiplikation, Punktprodukte usw.) sind nützlich, aber manchmal müssen Sie sich einfach hinsetzen und rechnen, um zu sehen, wie die Dinge funktionieren.

Da haben Sie Recht$F^\mu_{\ \ \nu}=g_{\nu \rho} F^{\mu \rho}$. Offensichtlich hat dieses Objekt zwei Raumzeitindizes (einen oben, einen unten), was bedeutet, dass es ein Objekt mit 16 Komponenten ist.

und so weiter und so fort. An dieser Stelle haben Sie wahrscheinlich schon bemerkt, dass die meisten Begriffe verschwinden werden, weil$g_{\nu\rho}$Null ist, wenn$\nu\neq \rho$(In der Minkowski-Raumzeit, das heißt - für allgemeinere Metriken ist dies nicht wahr).

Sobald Sie die Muster sehen und die Symmetrien identifizieren, wird diese Arbeit schneller - aber ich finde, dass es am hilfreichsten ist, die Arbeit zuerst Schritt für Schritt durchzugehen und die Geschwindigkeit und Abkürzungen mit der Übung kommen zu lassen.