Was ist „besonders“ und was „allgemein“ in der Relativitätstheorie?

Was ist „besonders“ und was „allgemein“ in der Relativitätstheorie?

Das „besondere“ in der speziellen Relativitätstheorie bezieht sich darauf, dass es sich nicht um eine universelle Theorie handelt. Vorhersagen der speziellen Relativitätstheorie gelten nur unter bestimmten besonderen Umständen. Diese besonderen Umstände liegen vor, wenn die Gravitation nicht vorhanden ist oder im Wesentlichen ignoriert werden kann.

Anfangs dachte ich, in der speziellen Relativitätstheorie sei die Geschwindigkeit konstant, während die allgemeine Relativitätstheorie auch die Behandlung beschleunigter Frames erlaubte.

Sie werden eine Reihe von Stellen sehen, die behaupten, dass die spezielle Relativitätstheorie nur in (Newtonschen) Trägheitssystemen funktioniert. Dies ist ebensowenig der Fall wie die Behauptung, dass die Newtonsche Mechanik nur in (Newtonschen) Inertialsystemen funktioniert. Man kann sich die spezielle Relativitätstheorie vorstellen, indem sie die drei Newtonschen Bewegungsgesetze (aber nicht das Newtonsche Gravitationsgesetz) um die Tatsache korrigiert, dass die Lichtgeschwindigkeit endlich ist.

Aber jetzt habe ich gehört, dass SR nur lokal gültig ist?

Gravitation ist in ausreichend kleinem Maßstab nicht nachweisbar. Da die spezielle Relativitätstheorie und nicht die Newtonsche Mechanik die "richtige" Physik liefert, wenn keine Gravitation vorhanden ist, lautet einer der Schlüsselgrundsätze der Allgemeinen Relativitätstheorie, dass die Allgemeine Relativitätstheorie lokal mit der Speziellen Relativitätstheorie kompatibel sein muss. Dieses Gebot ist in die allgemeine Relativitätstheorie eingebaut.

„Lokal“ bedeutet für Mathematiker und Physiker eine andere Bedeutung. Physiker interessieren sich für das, was gemessen werden kann. Wenn Sie es nicht messen können, existiert es nicht (zumindest nicht, bis bessere Instrumente verfügbar sind). Das heißt, "lokal" hängt davon ab, wie viel Masse-Energie in der Nähe ist und wie gut die Instrumentierung ist. "Lokal" in der Nähe eines Schwarzen Lochs ist ein eher kleiner Bereich der Raumzeit. "Lokal" ist eine ziemlich große Region inmitten einer Leere im Weltraum mit einem Durchmesser von einer Milliarde Lichtjahren.

SR: Flache Raumzeit (Minkowski-Metrik), keine Schwerkraft, Lorentz-Koordinatentransformationen (normalerweise$\Lambda \in SO^+(3,1)$, die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe). Beschleunigung ist erlaubt, aber Sie möchten normalerweise mit Trägheitsrahmen arbeiten.

GR: Gekrümmte Raumzeit (nicht trivialer und dynamischer metrischer Tensor), Gravitationstheorie, generische Koordinatentransformationen (normalerweise$\Lambda \in GL(4)$, sondern eher allgemein$\Lambda \in Diff(M)$, die Diffeomorphismusgruppe der Mannigfaltigkeit). Die Äquivalenz von Schwerkraft und Beschleunigung ist offensichtlich. Sie können immer einen lokalen Trägheitsrahmen finden, der flach ist, und in diesem Rahmen können Sie SR wiederherstellen.

Spezielle Relativitätstheorie ist Physik in a$3+1$dimensionale Lorentzsche Raumzeit, mit der zusätzlichen Anforderung, dass die Raumzeit flach ist, was die Raumzeit vollständig bestimmt.

Die Allgemeine Relativitätstheorie ist Physik in a$3+1$dimensionale Lorentzsche Raumzeit ohne zusätzliche geometrische Anforderungen. Zur Bestimmung der Raumzeit wird eine Gleichung für die Metrik benötigt, diese Gleichung ist die Einsteinsche Feldgleichung.

Das Allgemeinere an der Allgemeinen Relativitätstheorie sind nicht die Koordinaten, die Sie verwenden können, nicht die Rahmen, die Sie verwenden können, sondern die Geometrie der Raumzeit . Koordinaten und Rahmen sind nicht physikalisch, daher können Sie in einer Theorie nicht mehr Physik finden, indem Sie allgemeinere Koordinaten und Rahmen zulassen. Aber indem wir die Geometrie ein dynamisches Objekt sein lassen, finden wir eine Menge neuer Physik.

In der speziellen Relativitätstheorie sind die Gesetze der Physik unter der Poincaré-Transformation kovariant, während in der allgemeinen Relativitätstheorie die Gesetze der Physik im Allgemeinen kovariant sind, was bedeutet, dass sie unter jeder glatten Koordinatentransformation dieselbe Form annehmen. Die Lorentz-Transformationen sind ein Sonderfall der allgemeinen Transformationen, weshalb wir sie spezielle und allgemeine Relativitätstheorie nennen.

Eine Folge der allgemeinen Kovarianz und des Äquivalenzprinzips ist, dass die Schwerkraft ein Merkmal der gekrümmten Raumzeit ist, sodass die allgemeine Relativitätstheorie Schwerkraft hat, die spezielle Relativitätstheorie jedoch nicht.

Es gibt einige Leute, die darauf hinweisen, dass sogar die spezielle Relativitätstheorie in einer allgemein kovarianten Form geschrieben werden kann. Das ist wahr, aber wenn wir darüber sprechen, warum wir sie speziell und allgemein nennen, ist das nebensächlich, weil es erst später erkannt wurde.

Es ist sicherlich nicht wahr, dass die spezielle Relativitätstheorie keine Beschleunigungen oder Nicht-Trägheitsrahmen beschreiben kann. Es ist nur so, dass diese in der Allgemeinen Relativitätstheorie gleicher behandelt werden, indem der Unterschied der Gravitation zugeschrieben wird.

Wenn wir davon ausgehen, dass die allgemeine Relativitätstheorie die richtige Theorie ist (was durch viele Experimente bestätigt wird), dann ist die spezielle Relativitätstheorie natürlich nur eine lokal korrekte Annäherung.

Die Aussage, dass die spezielle Relativitätstheorie lokal gültig ist, entspricht der allgemeinen Relativitätstheorie. Das war in der Tat Einsteins ursprüngliche Logik. Er erkannte, dass jeder Punkt in der Raumzeit ein lokales Inertialsystem hat . Mit anderen Worten, ein fallender Mann spürt keine Schwerkraft – die Schwerkraft ist eine fiktive Kraft, die vollständig auf Ihrem Bezugssystem basiert!

Ursprünglich wurde angenommen, dass die spezielle Relativitätstheorie nur auf makroskopische Inertialsysteme anwendbar ist. Wenn Sie die spezielle Relativitätstheorie als lokal gültig annehmen, erweitern Sie Ihre Symmetrien um alle möglichen Koordinatentransformationen. Diese Verallgemeinerung führt zur allgemeinen Relativitätstheorie.

"The Fabric of the Cosmos-Space, Time, and the Texture of Reality" von Brian Greene ist das Buch, das ich zuerst gelesen habe, um mich mit GR und SR vertraut zu machen. Hier ist die kurze Passage, um den allgemeinen Unterschied zu erklären:

In einem leeren, unveränderlichen Universum – keine Sterne, keine Planeten, überhaupt nichts – gibt es keine Schwerkraft. Und ohne Schwerkraft ist die Raumzeit nicht verzerrt – sie nimmt die einfache, ungekrümmte Form an, die in Abbildung 3.9b gezeigt wird – und das bedeutet, dass wir uns wieder in der einfacheren Umgebung der speziellen Relativitätstheorie befinden. Denken Sie daran, dass Einstein die Schwerkraft ignorierte, während er die spezielle spezielle Relativitätstheorie entwickelte. Die Allgemeine Relativitätstheorie hat diesen Mangel durch Einbeziehung der Schwerkraft ausgeglichen, aber wenn das Universum leer und unveränderlich ist, gibt es keine Schwerkraft? und so reduziert sich die allgemeine Relativitätstheorie auf die spezielle Relativitätstheorie.

Im Grunde ist die Allgemeine Relativitätstheorie die Gravitationstheorie. Dinge aus der speziellen Relativitätstheorie können jedoch durch die allgemeine Relativitätstheorie gelöst werden. Die spezielle Relativitätstheorie ist der Rahmen für die allgemeine Relativitätstheorie. Die spezielle Relativitätstheorie ist größtenteils lokal gültig. Manchmal ist es jedoch einfach genauer, die spezielle Relativitätstheorie lokal zu verwenden.

SR kann als Spezialfall von GR angesehen werden, in dem Sie eine feste (dh nicht dynamische) und flache Raumzeit haben: Dies ist drastisch, da Sie die vollständigen Einstein-Gleichungen auf die Erhaltung des Spannungsenergietensors reduzieren.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, SR als lokale Annäherung an GR zu sehen (nur wenn Sie die Metrik lokal auf die zweite Ordnung erweitern, sehen Sie GR-Effekte: Die Raumzeit von GR ist eine Mannigfaltigkeit, die lokal flach ist).

Meiner Meinung nach ist der beste Weg, um zu verstehen, wie SR in GR eingebettet ist, der "Tetradenformalismus": Grob gesagt ist SR die Theorie des lokalen Tangentenraums.

Beachten Sie, dass ich Trägheitsrahmen, Beschleunigung, Koordinaten, Schwerkraft usw. nicht erwähne. Nehmen Sie einfach GR mit seiner vollständigen Maschinerie, legen Sie eine feste flache Raumzeit fest (verwenden Sie die gewünschten Koordinaten, aber sie muss flach sein), und Sie haben SR: Aus dieser Sicht ist klar, warum SR "besonders" ist.