Geschwindigkeits-Zeit-Dilatation

Diese Art von Verwirrung lässt sich normalerweise am einfachsten durch eine geometrische Analogie aufklären. Sie zeichnen die Zeitkoordinate als Raumkoordinate, und Sie zeichnen die Bahnen der sich bewegenden Uhren im Zeit-Raum-Kontinuum relativ zu einem Inertialsystem, wobei der Ursprung der Erdmittelpunkt sein wird. Die sich bewegenden Uhren, die um die Erde laufen, bilden auf zwei verschiedene Arten eine Raum-Zeit-Spirale – eine Uhr dreht sich spiralförmig mit der Rotation der Erde, die andere spiralförmig gegen die Rotation der Erde. Die beiden zeitlichen Spiralen haben eine unterschiedliche Verwindung, die Anzahl der Windungen pro Zeiteinheit ist unterschiedlich, und zwei Spiralen gleicher Höhe mit unterschiedlicher Verwindung haben in der gewöhnlichen Geometrie unterschiedliche Längen – die verwundenere ist länger.

Relativität ist wie Geometrie, abgesehen vom Minuszeichen im Satz des Pythagoras (siehe hier: Einsteins Postulate$\leftrightarrow$Minkowski-Raum für einen Laien ). Das Minuszeichen sorgt dafür, dass die spiralförmigere Spirale relativ gesehen kürzer ist als die weniger windige Spirale, sodass die Uhr, die sich in Richtung der Erdbewegung bewegt, weniger Zeit tickt als die Uhr, die sich gegen die Rotation der Erde bewegt. Die sich gegen die Erdrotation bewegende Uhr in einem modernen Jet ist nahezu stationär relativ zu den nicht rotierenden Erdmittelpunktkoordinaten, da der Jet mit naher Rotationsgeschwindigkeit fliegen kann, so dass der Jet gegen die Erdrotation bewegt wird die wahre, nicht rotierende Zeit des Erdmittelpunkts austicken, während der Jet, der mit der Erde fliegt, eine Reduzierung der Taktrate gemäß dem Geschwindigkeits-Zeit-Dilatationsfaktor erhält$\sqrt{1-v^2}$(in Einheiten, in denen die Geschwindigkeit in dimensionslosen Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit gemessen wird), der Faktor$\sqrt{1-v^2}$ist dem Bogenlängenfaktor gegenüberzustellen$\sqrt{1+y'^2}$in der Geometrie, die die zusätzliche Bogenlänge pro Einheit x Verschiebung ergibt, die erhalten wird, wenn man entlang einer Kurve y(x) geht.

Die Geometrie der Relativitätstheorie ist, abgesehen von ihren kontraintuitiven Vorzeichenwechseln und qualitativen Verkürzungs-/Verlängerungseffekten, genau die gleiche wie die völlig intuitiven (wenn auch mathematisch ebenso komplizierten) Bogenlängeneffekte in der rotationsinvarianten euklidischen Geometrie.

Die genauen Zeitunterschiede kann man wie folgt aus der Allgemeinen Relativitätstheorie berechnen. Damit sollte klar sein, woher die Zeitunterschiede kommen. Wir beginnen mit der schwachen Feldmetrik:

$$d s^2=-\left(1+{2\phi\over c^2}\right)c^2 d t^2 +\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)$$

Dann:

$$\tau_{AB} =\int_A^B d\tau =\int_A^B\sqrt{-{d s^2\over c^2}} =$$ $$=\int_A^B\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right)d t^2 -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)\left( \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2\right)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2}$$ Wo $$|{\bf V}|^2= \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2$$ ist die nichtrelativistische Geschwindigkeit. Dann entwickeln wir die Quadratwurzel in Potenzreihen und kommen nur noch mit kleinen Potenzen von aus $c$: $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2} =\int_A^B d t\left(1+{\phi\over c^2}-{1\over 2c^2}|{\bf V}|^2\right)$$ So $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}|{\bf V}|^2-\phi\right)\right)$$

Nun lass$V_g=V_g(t)$sei die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur (rotierenden) Erde (positiv für Flüge in Richtung Osten, negativ für Flüge in Richtung Westen),$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h}$die Oberflächengeschwindigkeit der Erde, dann ist die richtige Zeit für die Uhren auf der Oberfläche:

$$\tau_\oplus =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) \right)$$ und für die Uhren im Flugzeug

$$\tau =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}(V_g+V_\oplus)^2-\phi\right) \right)$$ dann ist der Unterschied zwischen den Eigenzeiten: $$\tau-\tau_\oplus=\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left(-{1\over2}(V_g+V_\oplus)^2+\phi +{1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) =$$ $$={1\over c^2}\int_A^B d t\left( \phi-\phi_\oplus-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ Aber $\phi-\phi_\oplus=g h$, Wo $h=h(t)$ist die Höhe des Flugzeugs, also lautet die endgültige Formel: $$\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ Lassen Sie uns es für typische Höhen und Geschwindigkeiten von Verkehrsflugzeugen auswerten: $$R_\oplus=6 378.1{\rm\,km}=6.3781\cdot10^6{\rm\,m}$$ $$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h} ={2\pi R_\oplus\over24\cdot3600}\,{\rm1\over s} ={2\pi\,6.3781\cdot10^6\over24\cdot3600}{\rm m\over s}=463.83\rm\,{m\over s}$$

$$V_g = 870\,{\rm km\over h}=241.67\rm\,{m\over s}$$ $$h = 12{\rm\,km}=12000\rm\,m$$ $$t = {2\pi R_\oplus\over V_g} = {2\pi\,6.3781\cdot10^6\over 241.67}{\rm\,s} =165824.41{\rm\,s}\approx 46{\rm\,h}$$ $$c = 3\cdot10^8\rm\,{m\over s}$$ Für Flüge nach Osten erhalten wir: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-4.344\cdot10^{-8}{\rm\,s}=-43.44{\rm\,ns}$$ und für Flüge nach Westen erhalten wir: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =3.6964\cdot10^{-7}{\rm\,s}=369.63{\rm\,ns}$$ Bei Vernachlässigung der Schwerkraft erhält man: Flüge nach Osten: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-260.34{\rm\,ns}$$ und für Flüge nach Westen: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =152.73{\rm\,ns}$$ Indem Sie einfach die Uhren auf die Höhe bringen $12\rm\,km$und dort 46 Stunden verweilen (ohne sich in Bezug auf das Inertialsystem zu bewegen, zB ferne Galaxien), erhält man: $$\Delta\tau ={ght\over c^2}=216.90{\rm\,ns}$$

Sie denken vielleicht an das „Zwillingsparadoxon“ in der speziellen Relativitätstheorie, bei dem ein Zwilling in eine Rakete steigt, die auf eine Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit (c) beschleunigt, sich ein Stück von der Erde entfernt, abbremst und dann zurück zur Erde beschleunigt, wo Er bremst noch einmal ab, um auf der Erde zu landen. Der Zwilling, der auf der Erde geblieben ist, wird viel älter sein als der Zwilling, der in der Nähe von c gereist ist. Daher ist es verlockend zu glauben, dass das Beschleunigen und Verlangsamen die Asymmetrie des Alterns verursacht. Tatsächlich ist die Asymmetrie nur darauf zurückzuführen, dass der reisende Zwilling zwei verschiedene Trägheitsrahmen verwendet, verglichen mit einem Rahmen für den Zwilling auf der Erde. Siehe Twin Paradox für eine vollständige Erklärung. Die Länge des Fluges spielt also eine Rolle, da dort die Zeitdilatation auftritt.

Wie Sie sagen, gibt es neben der speziellen relativistischen Zeitdilatation für sich bewegende Referenzrahmen auch einen allgemeinen relativistischen Zeitdilatationseffekt aufgrund von Gravitationsfeldern. Das GR-Prinzip der Äquivalenz zwischen beschleunigenden Referenzrahmen und Gravitationsfeldern impliziert, dass Beschleunigung auch Zeitdilatation verursacht. Daher müssen alle diese Effekte (sowohl die spezielle als auch die allgemeine Relativitätstheorie) bei dieser Art von Experiment berücksichtigt werden.

Der genaue aus Wikipedia zitierte Text enthält:

"... man erwartete, dass die beweglichen Uhren aufgrund ihrer Reisegeschwindigkeit langsamer altern würden"

Ihre Frage ist: "Ist es wirklich wahr?"

Die Antwort ist "Nein, es ist nicht wahr." Das heißt, es stimmt nicht, dass die Uhren aufgrund ihrer Reisegeschwindigkeit langsamer altern sollten. Richtig ist, dass die eine Uhr langsamer und die andere schneller altern sollte. Das wurde nicht nur erwartet, sondern auch gefunden.

"Ohh, bitte ... OP hat sicherlich gefragt, ob es einen Unterschied zwischen den Uhren geben würde, nicht, ob der genaue Wortlaut in dieser beiläufigen Referenz korrekt war."

Vielleicht. Aber wenn Sie im Grunde überfordert sind und versuchen, so fremde Dinge wie die Relativitätstheorie zu verstehen, können selbst kleine falsche Aussagen wie diese Sie wirklich stolpern lassen; es stolpert mich sowieso sicher.

OK, aber zu Ihrer eigentlichen Frage, die meiner Meinung nach wirklich diese ist:

Woher kommt die Asymmetrie, die dazu führt, dass ein Flugzeug anders altert als das andere?

Sie können einen Bezugsrahmen finden, in dem das Experiment völlig symmetrisch ist; Beide Flugzeuge beschleunigen gleich viel, legen die gleiche Strecke zurück, mit der gleichen Geschwindigkeit. Dieser Bezugsrahmen ist nicht der, der für die Berechnungen verwendet wurde, aber warum nicht? Warum ist der bestimmte Bezugsrahmen, in dem sich die Erde dreht, gültiger als jeder andere? Sie könnten sich sogar einen Bezugsrahmen ausdenken (einer, der sich doppelt so schnell dreht wie die Erde), in dem die Asymmetrie umgekehrt ist. Was ist so magisch an dem Bezugsrahmen, in dem sich die Erde mit 360 Grad/24 Stunden dreht?

Und die Antwort, die ich schließlich verstanden habe, ist, dass der Bezugssystem, in dem das Experiment symmetrisch ist , kein Trägheitsbezugssystem ist, und dasjenige, das für die Berechnungen verwendet wurde, ist es (oder ist es zumindest).

Rotation ist nicht "relativ", sie hat eine absolute Bedeutung (nicht, dass ich noch genau verstehe, was diese Bedeutung ist). Die Erde dreht sich wirklich . Damit sich ein Flugzeug mit der Erddrehung fortbewegt, muss es zuerst beschleunigen. Um gegen die Drehung der Erde zu reisen , muss sie zuerst real, nicht relativ abgebremst werden. Daher ist das Experiment nicht symmetrisch.

Um zumindest zu verstehen, warum Rotation in irgendeiner Weise "absolut" ist, oder es zumindest zu glauben, wenn nicht zu verstehen, denken Sie darüber nach:

Stellen Sie sich zwei Kugeln an den Enden einer Schnur vor. Wenn die Schwerkraft zwischen ihnen vernachlässigt wird, wenn die Kugeln und die Schnur ruhen oder sich gleichmäßig bewegen, wird die Schnur zwischen den Kugeln schlaff sein. Wenn Sie jedoch die Kugeln um die Mitte der Schnur drehen würden, würden die Kugeln versuchen, auseinander zu fliegen, und die Schnur wäre straff. Es gibt keine Möglichkeit, dieses Szenario von irgendeinem Referenzrahmen aus zu betrachten, in dem die Saite schlaff ist.

Eine andere Sache: Ich glaube nicht, dass das richtig ist: "...nur Beschleunigung/Verzögerung wirkt sich aus, wenn zwei Uhren im selben Frame nach bestimmten Arten von Bewegungen verglichen werden. ... die Zeitdifferenz zweier Uhren in dem oben genannten Test unabhängig von der Flugdauer gleich ist"

So wie ich es verstehe, befinden Sie sich nach dem Beschleunigen in einem neuen Trägheitssystem mit einer anderen Zeitskala. Je länger Sie in diesem neuen Rahmen bleiben, desto mehr Differenz wird Ihre Uhr akkumulieren und wird sichtbar, wenn Sie schließlich zu Ihrem ursprünglichen Rahmen zurückkehren.