Definition eines Tensors

Question

Definition eines Tensors

Keith

Ich denke, ein Tensor des Ranges $m$ auf ein $n$ -dimensionaler Raum $V$ ist eine multilineare Abbildung $T : V^n \to \mathbb{R}$ . Zum Beispiel ein Rangtensor $3$ ist eine multilineare Abbildung $T:V^3 \to \mathbb{R}$ . Wenn $\{\textbf{e}_i\}$ sind einige Grundlage von $V$ Und $\{\textbf{e}^j\}$ sind dann inverse Basis $T^i_{jk} = T(\textbf{e}^i, \textbf{e}_j. \textbf{e}_k)$ .

Allerdings in einem Buch, ein Rang $(p,q)$ Tensor ist als Abbildung definiert $T:(V^*)^q \times V^p \to \mathbb{R}$ Und $T(\textbf{e}^{i_1},...,\textbf{e}^{i_q}, \textbf{e}_{j_1}, ...,\textbf{e}_{j_q})=T^{{i_1}...{i_q}}_{{j_1},...,{j_q}}$ . Hier $V^*$ ist der duale Raum von $V$ . Sind diese beiden Definitionen gleichwertig? Wie kann ich untere und obere Indizes in der zweiten Definition verschieben? Könnte jemand bitte erklären?

Das ist meine Quelle der Verwirrung. Es wird angegeben, dass Basis und inverse Basis im selben Raum leben und denselben Vektor unterschiedlich ausdrücken. Was soll ich darunter verstehen? Dieses Bild ist von Ta-Pei Cheng S.198.

J. Murray

Was ist eine inverse Basis, wenn nicht die Basis eines dualen Raums?

Keith

e_{i} \cdot e^{j} = δ_{i}^{j}

$\textbf{e}_i \cdot \textbf{e}^j = \delta^j_i$

J. Murray

Ja das verstehe ich, aber welchen Platz nehmen die

e^{i}

$e^i$ lebst du in? Sie können nicht im Vektorraum leben - sonst könnten Sie sie aus dem konstruieren

e_{j}

$e_j$ 'S

Keith

Das ist meine Verwirrung. Im Buch Ta-Pei Cheng, S. 198,

e^{i}

$e^i$ sind angegeben, am selben Ort zu leben wie

e_{i}

$e_i$ . Allerdings steht das in einem anderen Buch

e^{i}

$e^i$ sind duale Vektoren. Da kommt meine Verwirrung auf...

Raub

Die zweite Definition ist sehr allgemein. Die erste sieht aus wie ein Sonderfall der ersten, und ich vermute, dass diese erste Definition eine zusätzliche Struktur [einen metrischen Tensor] verwendet, da von einer "Inversen" die Rede ist. Zur Verdeutlichung könnte man den Begriff Metrik-Dual verwenden, wenn eine Metrik an der „Erhöhung oder Senkung von Indizes“ beteiligt war. Man kann Vektoren und [im "dual space"] Covektoren haben, ohne dass Metriken beteiligt sind. Aber wenn eine Paarung dieses Vektors und dieses Covektors mit Hilfe einer Metrik hergestellt werden kann, dann sind sie metrische Duale voneinander ... und verwenden daher denselben "Basisbuchstaben".

Keith

Was meinst du mit dem Basisbuchstaben? Bedeutet das

e

$\textbf{e}$ ? Aber auch ohne Metrik wird eine Covektorbasis mit bezeichnet

e^{i}

$\textbf{e}^i$ . Außerdem meinst du das im Grunde

e^{i}

$\textbf{e}^i$ Und

e^{j}

$\textbf{e}^j$ in verschiedenen Räumen leben?

Keith

Ich habe die Seite hinzugefügt, die die Quelle meiner Verwirrung ist.

Raub

Gegebener Vektor

v^{a}

$v^a$ und eine Metrik

g_{a b}

$g_{ab}$ , kann ich bilden

v^{a} g_{a b}

$v^a g_{ab}$ , ein perfekt guter Covektor. Der Einfachheit halber könnten wir dem zustimmen

v_{b}

$v_b$ ist eine Abkürzung für

v^{a} g_{a b}

$v^a g_{ab}$ ... aber ich hätte es nennen können

w_{b}

$w_b$ stattdessen oder überhaupt keine Abkürzung verwendet. Es scheint mir, dass es ein Notationsproblem gibt, das Sie entschlüsseln müssen. Verwenden Sie die zweite (allgemeine Definition) und verwenden Sie die verfügbaren Strukturen, um zur ersten Definition zu gelangen.

Raub

Als ich anfing, etwas über Relativitätstheorie zu lernen, erinnere ich mich an dieses Problem mit kontravarianten und kovarianten Komponenten eines Vektors [was ich nie ganz verstanden habe ... aber ich glaube, ich bekomme es in den Griff]. Später habe ich einfach gelernt, mich auf den Vektor (abstrakt) zu konzentrieren und dann Komponenten mit Operationen mit anderen Tensoren zu erhalten. Es scheint mir, dass dies Tensoralgebra der "alten Schule" vs. der "neuen Schule" ist. Wir brauchen eine Übersetzung, die ausdrückt, was die „alte Schule“ zu sagen versuchte (oder warum sie es so zu sagen versuchte).

Gravitino

"Inverse Basis" ist kein strenges Konzept. In Wirklichkeit ist es die duale Basis!

e^{i}

${e^i}$ sind keine Elemente von

V

$V$ , sie leben im dualen Raum.

Antworten (2)

Definition eines Tensors

Was ist eine inverse Basis, wenn nicht die Basis eines dualen Raums?
Ja das verstehe ich, aber welchen Platz nehmen die $e^i$ lebst du in? Sie können nicht im Vektorraum leben - sonst könnten Sie sie aus dem konstruieren $e_j$ 'S
Das ist meine Verwirrung. Im Buch Ta-Pei Cheng, S. 198, $e^i$ sind angegeben, am selben Ort zu leben wie $e_i$ . Allerdings steht das in einem anderen Buch $e^i$ sind duale Vektoren. Da kommt meine Verwirrung auf...
Die zweite Definition ist sehr allgemein. Die erste sieht aus wie ein Sonderfall der ersten, und ich vermute, dass diese erste Definition eine zusätzliche Struktur [einen metrischen Tensor] verwendet, da von einer "Inversen" die Rede ist. Zur Verdeutlichung könnte man den Begriff Metrik-Dual verwenden, wenn eine Metrik an der „Erhöhung oder Senkung von Indizes“ beteiligt war. Man kann Vektoren und [im "dual space"] Covektoren haben, ohne dass Metriken beteiligt sind. Aber wenn eine Paarung dieses Vektors und dieses Covektors mit Hilfe einer Metrik hergestellt werden kann, dann sind sie metrische Duale voneinander ... und verwenden daher denselben "Basisbuchstaben".
Was meinst du mit dem Basisbuchstaben? Bedeutet das $\textbf{e}$ ? Aber auch ohne Metrik wird eine Covektorbasis mit bezeichnet $\textbf{e}^i$ . Außerdem meinst du das im Grunde $\textbf{e}^i$ Und $\textbf{e}^j$ in verschiedenen Räumen leben?
Ich habe die Seite hinzugefügt, die die Quelle meiner Verwirrung ist.
Gegebener Vektor $v^a$ und eine Metrik $g_{ab}$ , kann ich bilden $v^a g_{ab}$ , ein perfekt guter Covektor. Der Einfachheit halber könnten wir dem zustimmen $v_b$ ist eine Abkürzung für $v^a g_{ab}$ ... aber ich hätte es nennen können $w_b$ stattdessen oder überhaupt keine Abkürzung verwendet. Es scheint mir, dass es ein Notationsproblem gibt, das Sie entschlüsseln müssen. Verwenden Sie die zweite (allgemeine Definition) und verwenden Sie die verfügbaren Strukturen, um zur ersten Definition zu gelangen.
Als ich anfing, etwas über Relativitätstheorie zu lernen, erinnere ich mich an dieses Problem mit kontravarianten und kovarianten Komponenten eines Vektors [was ich nie ganz verstanden habe ... aber ich glaube, ich bekomme es in den Griff]. Später habe ich einfach gelernt, mich auf den Vektor (abstrakt) zu konzentrieren und dann Komponenten mit Operationen mit anderen Tensoren zu erhalten. Es scheint mir, dass dies Tensoralgebra der "alten Schule" vs. der "neuen Schule" ist. Wir brauchen eine Übersetzung, die ausdrückt, was die „alte Schule“ zu sagen versuchte (oder warum sie es so zu sagen versuchte).
"Inverse Basis" ist kein strenges Konzept. In Wirklichkeit ist es die duale Basis! ${e^i}$ sind keine Elemente von $V$ , sie leben im dualen Raum.

J. Murray · Answer 1

Okay, ich sehe das Problem. Im Gegensatz zu meinem zweiten Kommentar ist es möglich, vollständige Tensorräume zu formulieren, ohne einen dualen Raum zu referenzieren. Dies ist jedoch ein Ansatz der alten Schule. Sie entspricht letztlich der moderneren Formulierung, diese ist aber konzeptionell sauberer.

Ich werde den modernen Ansatz demonstrieren und dann zeigen, wie er dem Ansatz in Ihrem Buch entspricht.

Betrachten Sie einen Vektorraum $V$ über die reellen Zahlen. Wenn wir eine Basis wählen $\{e_i\}$ , können wir jeden Vektor erweitern $\bf{X}$ als

X = X^{ich} e_{ich}, X^{ich} \in R

${\bf{X}}= X^i e_i\ \ , \ \ X^i\in\mathbb{R}$

Der duale Raum $V^*$ besteht aus den linearen Karten aus $V$ Zu $\mathbb{R}$ . $V^*$ ist ebenfalls ein Vektorraum, also können wir eine Basis wählen $\epsilon^i$ und erweitern Sie jeden dualen Vektor (auch bekannt als covector ) $\omega$ als

ω = ω_{ich} ϵ^{ich}, ω_{ich} \in R

${\boldsymbol{\omega}} = \omega_i \epsilon^i\ \ , \ \ \omega_i \in \mathbb{R}$

Wir wählen die duale Basis kanonisch so, dass $\epsilon^i(e_j) = \delta^i_j$ . Daher kann die Wirkung eines dualen Vektors auf einen Vektor wie folgt geschrieben werden:

ω (X) = ω_{ich} ϵ^{ich} (X^{J} e_{J}) = ω_{ich} X^{J} ϵ^{ich} (e_{J}) = ω_{ich} X^{J} δ_{J}^{ich} = ω_{ich} X^{ich}

$\boldsymbol\omega(\boldsymbol X) = \omega_i \epsilon^i\big(X^j e_j\big) = \omega_iX^j\epsilon^i\big(e_j\big) = \omega_i X^j \delta^i_j = \omega_iX^i$

wo wir bemerken, dass wir die Komponenten ziehen können $X^i$ heraus, weil Kovektoren lineare Abbildungen sind.

A $(p,q)-$ Tensor ist eine multilineare Karte, die isst $p$ Covektoren u $q$ Vektoren und spuckt eine reelle Zahl aus. Zum Beispiel ein $(1,2)-$ Tensor ${\bf{T}}$ ist eine Karte

T : v^{*} \times v \times v \to R

${\bf{T}} : V^* \times V \times V \rightarrow \mathbb{R}$

also haben wir

T (ω, X, Y) = T (ω_{ich} ϵ^{ich}, X^{J} e_{J}, Y^{k} e_{k}) = ω_{ich} X^{J} Y^{k} T (ϵ^{ich}, e_{J}, e_{k}) \equiv ω_{ich} X^{J} Y^{k} T_{J k}^{ich}

${\bf{T}}(\boldsymbol\omega,\boldsymbol X,\boldsymbol Y)={\bf{T}}(\omega_i \epsilon^i,X^j e_j,Y^k e_k) = \omega_i X^j Y^k {\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k) \equiv \omega_i X^j Y^k T^i_{\ j\ k}$

Wo

T (ϵ^{ich}, e_{J}, e_{k}) \equiv T_{J k}^{ich}

${\bf{T}}(\epsilon^i,e_j,e_k)\equiv T^i_{\ \ j\ k}$

sind die Bestandteile von ${\bf{T}}$ in der gewählten Basis.

Ein metrischer Tensor ${\bf{g}}$ ist symmetrisch, positiv definit $(0,2)-$ Tensor. Eine Wahl der Metrik induziert ein inneres Produkt zwischen Vektoren:

X \cdot Y := G (X, Y) = G (X^{ich} e_{ich}, Y^{J} e_{J}) = X^{ich} Y^{J} G (e_{ich}, e_{J}) = X^{ich} Y^{J} G_{ich J}

$X\cdot Y := {\bf{g}}(X,Y) = {\bf{g}}(X^i e_i,Y^j e_j) = X^i Y^j {\bf{g}}(e_i,e_j) = X^i Y^j g_{ij}$

Die positive Bestimmtheit von ${\bf{g}}$ ermöglicht es uns, einen Isomorphismus zwischen zu definieren $V$ Und $V^*$ . Gegeben irgendein Vektor $\boldsymbol X$ , definieren wir seinen Covektor dual $\boldsymbol{\tilde X}$ durch Fütterung $\boldsymbol X$ auf die Metrik und lassen den zweiten Slot offen:

\tilde{X} := G (X, ∙)

$\boldsymbol{\tilde X} := \boldsymbol g(\boldsymbol X,\bullet)$

So

\tilde{X} (Y) = G (X, Y)

$\boldsymbol{\tilde X}(\boldsymbol Y) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,\boldsymbol Y)$

Wir finden die Komponenten von $\boldsymbol{\tilde X}$ indem es mit dem Basisvektor gespeist wird $e_i$ :

{\tilde{X}}_{ich} = \tilde{X} (e_{ich}) = G (X, e_{ich}) = G (X^{J} e_{J}, e_{ich}) = G_{J ich} X^{J} = G_{ich J} X^{J}

$\tilde X_i = \boldsymbol{\tilde X}(e_i) = \boldsymbol g(\boldsymbol X,e_i) = \boldsymbol g(X^j e_j,e_i) = g_{ji} X^j = g_{ij}X^j$

(wobei wir die Tatsache verwendet haben, dass $\bf g$ ist symmetrisch, also $g_{ji}=g_{ij}$ ).

Ich werde hier aufhören, da wir jetzt in der Lage sind, den Geist Ihrer Frage zu beantworten. Jeder Vektor $\bf X$ hat einen eindeutigen Covektor-"Partner", den ich bezeichnet habe $\boldsymbol{\tilde X}$ . Jedoch, $\bf X$ lebt im Vektorraum während $\boldsymbol{\tilde X}$ lebt im dualen Raum, sie sind also ausdrücklich unterschiedliche Objekte .

Ebenso gegeben a $(1,1)-$ Tensor $\bf T$ , können wir a definieren $(0,2)-$ Tensor $\bf Q$ nach folgendem Rezept:

Q (X, Y) := T (\tilde{X}, Y)

$\boldsymbol Q(\boldsymbol X,\boldsymbol Y) := \boldsymbol T(\boldsymbol{\tilde X}, \boldsymbol Y)$

woraus folgt, dass in Komponentenform

Q_{ich J} = G_{ich k} T_{J}^{k}

$Q_{ij} = g_{ik} T^k_{\ \ j}$

$V$ Und $V^*$ sind isomorph zueinander, und der Ansatz der alten Schule besteht darin, diese Isomorphie als Gleichheit zu behandeln. Das heißt, wir identifizieren $\bf X$ Und $\boldsymbol{\tilde X}$ als dasselbe Objekt und betrachten seine "Vektorerweiterung" und "Kovektorerweiterung" als unterschiedliche Ausdrücke derselben Sache.

In ähnlicher Weise betrachten wir die oben definierten Tensoren $\bf T$ Und $\bf Q$ als dasselbe Objekt, das unterschiedliche Formen annimmt, je nachdem, ob (i) wir es mit Vektoren füttern, die beide in der gleichen Basis expandiert sind, oder (ii) wir es mit Vektoren füttern, die in verschiedenen Basen expandiert sind (!?).

Für mich ist das schrecklich chaotisch und verworren. Es ist viel sauberer zu behandeln $\bf X$ Und $\boldsymbol{\tilde X}$ als Partner , die in unterschiedlichen Räumen leben. Wenn wir das tun, dann die Tensoren $\bf T$ Und $\bf Q$ werden zu unterschiedlichen Abbildungen, die dennoch über die Isomorphie zwischen miteinander in Beziehung stehen $V$ Und $V^*$ .

Aus dieser Sicht ist das "Erhöhen und Senken von Indizes" ein Notationsmissbrauch - eher als ein Sprichwort

X_{ich} = G_{ich J} X^{J}

$X_i = g_{ij}X^j$ das sollten wir wirklich sagen

{\tilde{X}}_{ich} = G_{ich J} X^{J}

$\tilde X_i = g_{ij} X^j$

und erkennen, dass die $\tilde X_i$ 's und $X^j$ 's sind die Komponenten verschiedener Objekte.

Dieser Ansatz ist bereits sauberer, aber er wird noch sauberer, wenn wir Abstraktionen auf höherer Ebene wie die Tangentialbündel an Mannigfaltigkeiten, Differentialformen, die Aktionen von Gruppen auf Koordinatenrahmen, Verbindungen und parallelen Transport usw. betrachten.

Der Ansatz der alten Schule ist jedoch nicht falsch, und solange Sie sehr genau verstehen, was Sie tun, können Sie tun, was Sie wollen.

Gravitino · Answer 2

Zunächst eine kleine Korrektur: der Tensor $T^i{}_{jk} = T(\textbf{e}^i, \textbf{e}_j. \textbf{e}_k)$ Sie haben erwähnt, dass es sich um eine multilineare Karte handelt $T: V^* \times V^2 \to \mathbb{R}$ nicht von $V^3$ .

Jetzt die Antwort. Gegeben sei ein Vektorraum $V$ , ein (q, p)-Tensor (q-kontravarianter p-kovarianter Tensor) ist, wie Sie sagten, eine Abbildung $T:(V^*)^q \times V^p \to \mathbb{R}$ mit Komponenten in bestimmter Basis:

T (e^{{ich}_{1}}, . . ., e^{{ich}_{Q}}, e_{J_{1}}, . . ., e_{J_{P}}) = T^{{ich}_{1} . . . {ich}_{Q}}_{J_{1}, . . ., J_{P}}

$T(\textbf{e}^{i_1},...,\textbf{e}^{i_q}, \textbf{e}_{j_1}, ...,\textbf{e}{}_{j_p})=T^{{i_1}...{i_q}}{}_{{j_1},...,{j_p}}$ Mit

V^{*}

$V^*$ ist der duale Raum von

V

$V$ .

Sie können q und p zusammensetzen, indem Sie das einfach sagen $T$ ist ein ( $q+p$ )-Rang-Tensor, aber nur, wenn Sie etwas haben, das sich natürlich abbildet $V$ in sein Dual ("natürlich" bedeutet "auf eine Weise, die nicht von deiner Basis abhängt"). Typischerweise ist dieses Objekt eine Metrik (ein inneres Produkt), und damit können Sie die Indizes erhöhen und verringern; deshalb sollten Sie keinen Index über einen anderen setzen (siehe wie ich die Komponenten des Tensors geschrieben habe).

Es kann bewiesen werden (Satz von Riesz-Frechet), dass bei gegebenem Vektor $x\in V$ es gibt immer ein (und nur ein) Formular $f_x \in V^*$ das wirkt wie folgt:

F_{X} (j) = X \cdot j \forall j \in v

$f_x(y) = x \cdot y \quad \forall y \in V$

wobei der Punkt das Skalarprodukt ist. Dies stellt die natürliche Identifikation her $x \leftrightarrow f_x$ . Tatsächlich erlaubt dies die Verwendung der berühmten Dirac-Notation in der Quantenmechanik.

Folglich, wenn die Komponenten $x$ auf bestimmter Grundlage $B$ Sind $x^i$ , was wir sagen, ist, dass die Komponenten von $f_x$ in der dualen Basis $B^*$ Sind $x_i$ . Sie sind verschiedene Objekte, aber die Metrik verbindet sie.

Ein allgemeiner Tensor $T$ ist eine Linearkombination von Tensorprodukten von Vektoren und Formen. Wenn Sie also ein Objekt haben, das Vektoren und Formen verbindet, können Sie es in diesen Produkten verwenden, um einen anderen Tensor zu erzeugen $T'$ (" $T$ " mit einigen erniedrigten und anderen erhöhten Indizes). Wir verwenden jedoch die gleiche Notation für die Komponenten von $T$ Und $T'$ und nicht $T_{ijk}$ Und $T'{}^i{}_{jk}$ , zum Beispiel. Wir lassen die Primzahl weg, denn wenn wir die Komponenten von berechnen $T'$ Wir können jederzeit von dieser Beschreibung zur anderen wechseln, indem wir die Metrik verwenden: $T_{ijk} = g_{li} T'{}^l{}_{jk}$ . Vereinfachen wir also die Schreibweise und rufen auf $T'{}^l{}_{jk} \equiv T{}^l{}_{jk}$ . In der Praxis sagen wir das $T$ Und $T'$ sind keine unterschiedlichen Tensoren (tatsächlich sind sie es!) und sie sind nur unterschiedliche "Versionen" desselben "Dings".

Genau das tun wir, wenn wir von „kontravarianten“ oder „kovarianten“ Komponenten eines Vektors sprechen. Genau genommen sind nur die kontravarianten Komponenten des Vektors, die anderen sind Komponenten der zugehörigen Form im dualen Raum. Aber wir identifizieren sie.

Was soll ich dann unter der Notation verstehen $T_{ijk}$ ?Nicht $T^i\;_{jk}$ Und $T_{ijk}$ denselben Tensor bezeichnen?
Wenn Sie darüber sprechen $T_{ijk}$ Und $T^i{}_{jk}$ Ich nehme an, Sie haben eine Metrik. In diesem Zusammenhang handelt es sich mathematisch gesehen um unterschiedliche Tensoren (weil sie auf unterschiedliche Räume wirken!), aber sie enthalten die gleiche "Information". Wenn Sie die Werte der Komponenten der Metrik kennen $g_{i j} = e_i\cdot e_j$ (Sie kennen sie, weil Sie das innere Produkt kennen), dann, wenn Sie damit arbeiten $T^i{}_{jk}$ und Sie brauchen aus irgendeinem Grund $T_{ijk}$ , du musst nur rechnen $T_{ijk} =\sum_{l} g_{i l} T^l{}_{jk}$ (das ist, was "Senken des Index" bedeutet).
Auf die gleiche Weise können Sie Folgendes tun: $T^{ij}{}_k =\sum_{l} g^{j l} T^i{}_{lk}$ („Erhöhen“ der Indizes). Die inverse Metrik ist die Inverse der Matrix $g_{ij}$ , Ich meine $g_{ij} g^{jk}=\delta^i_k$ .
Sind das unterschiedliche Tensoren? Es trägt zu meiner Verwirrung bei. Ich habe gedacht, dass ein Tensor eine Einheit ist, die von Koordinaten unabhängig ist, und für einen Tensor vom Rang 3 gilt: $T_{ijk}$ Und $T^i _{jk}$ sind nur verschiedene Komponentenausdrücke für den Tensor T. Dies scheint also nicht der Fall zu sein ....
Allerdings in dem Bild, das ich oben hinzugefügt habe, für dasselbe $V$ , gibt es die kontravarianten Komponenten $V^i$ und kovariante Komponenten $V^j$ . Gilt das auch für Tensoren?
Entschuldigung, ich denke, die Verwirrung kommt daher, dass Sie denken, wir beschäftigen uns die ganze Zeit damit $T$ . Lassen Sie mich das klären. Lass uns anrufen $T$ das Objekt mit Komponenten $T^i{}_j$ Und $T'$ (unterschiedliche Namen!) das Objekt mit Komponenten $T_{ij}$ . Die Komponenten hängen (offensichtlich) von der Basis ab, die Objekte jedoch nicht. $T$ Und $T'$ sind verschiedene Dinge, aber der Punkt ist, dass, wenn Sie eine Metrik haben, dann $T$ Und $T'$ dieselben Informationen enthalten. Und Sie können vergessen, dass es sich um Unterschiede handelt (vergessen Sie die „Prime“) und einfach mit den Komponenten arbeiten, die die Indizes mithilfe der Metrik erhöhen und senken.
Ich hörte das Wort Tetrade, Vierbien, Standardformalismen des metrischen Tensors. Wohin gehören Ihre Inhalte?

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