Warum sind die Längen der Stäbe eines Spielzeugglockenspiels nicht proportional zu den Wellenlängen?

Die Antwort auf diese Frage überschneidet sich erheblich mit meiner Antwort zum Klavierstimmen . Dort bespreche ich, wie ein dicker Draht zusätzlich zu seiner Spannung eine zusätzliche Rückstellkraft aus seinem Biegewiderstand hat. Dies modifiziert die übliche Wellengleichung um

$$v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - A \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ In diesem Fall ist es umgekehrt: Die Spannung ist vernachlässigbar, also haben wir nur den „zusätzlichen“ Term. Die Wellengleichung wird $$-A \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$ Einstecken eines Ansatzes von $\cos(kx-\omega t)$gibt die Dispersionsrelation an $$Ak^4 = \omega^2.$$ Das ist, $\omega \propto k^2$. Seit $k$ist umgekehrt proportional zur Länge, $$\omega \propto 1/L^2$$ wie gewünscht. Eine Bar $\sqrt{2}$mal kürzer macht einen Ton doppelt so hoch.

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Wie Sie gesehen haben, muss sich die Wellengeschwindigkeit ändern, damit die Ergebnisse sinnvoll sind. Die Phasengeschwindigkeit einer Welle ist$v_p = \omega / k$, und diese ist nur für die einfachste Dispersionsrelation, die ideale Wellengleichung, konstant$\omega = vk$. In diesem Fall haben wir$\omega \propto k^2$, was impliziert$v_p \propto k$. Wellen mit kürzerer Wellenlänge, wie die auf den kleineren Balken, bewegen sich schneller.

Aber das bedeutet nicht, dass die kleineren Bars anders sind. Die Phasengeschwindigkeit ändert sich, weil die Wellenausbreitung auf Stäben grundlegend anders ist als auf Saiten; es weist Streuung auf .

Wie knzhou feststellt, besteht der Hauptunterschied zwischen Schwingungen eines freien Balkens und einer Saite darin, dass die Rückstellkraft nun durch Biegemomente (proportional zu$\frac{d^4y}{dx^4}$) eher als lineare Spannung (proportional zu$\frac{d^2y}{dx^2}$).

Die Folge ist, wie diese Quelle zeigt, dass für freie Strahlen wie die Takte des Glockenspiels die Kreisfrequenz gilt$\omega=2\pi f$und Wellenzahl$k=\frac{2\pi}{\lambda}$verwandt sind durch

$$\omega^2=\frac{YI}{\rho A} k^4$$

wo$I=\frac{1}{12}bh^3$ist das 2. Moment der Querschnittsfläche um eine horizontale Achse durch die Mitte, und$A=hb$ist die Querschnittsfläche.

Da die Balken an keiner Stelle zwanglos sind, entspricht die Wellenlänge nicht genau einem Vielfachen der Balkenlänge. In jedem Modus gilt jedoch die gleiche Beziehung für unterschiedliche Balkenlängen. Im Grundmodus schwingen die Stäbe mit Knoten bei ca.$0.224L$von jedem Ende ( Quelle ), so dass$\lambda=1.104L$. Dies führt (glaube ich) zu

$$f=1.488\frac{h}{L^2}\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$$

das ist die gleiche Form wie die hier zitierte Formel , aber der führende Faktor stimmt nicht ganz überein.

Die Frequenz ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Länge, daher erfordert die Halbierung der Frequenz eine Erhöhung der Länge um einen Faktor von$\sqrt2=1.414$wie du gefunden hast.