Navier-Stokes-Energiegleichung

Mir wurde (als Hausaufgabe in einem mathematischen Modellierungskurs) die Aufgabe übertragen, die Navier-Stokes-Energiegleichung in einer Raumdimension abzuleiten:

Stellen Sie sich eine Flüssigkeit vor, die durch ein zylindrisches Rohr (von links nach rechts; nehmen Sie auch an, dass das Rohr horizontal ist) mit konstantem Querschnitt fließt$A$, Geschwindigkeit$v(x,t)$, Dichte$\rho(x,t)$, spezifische innere Energie$e(x,t)$, Temperatur$T(x,t)$, unter Druck$p(x,t)$und viskoser Beanspruchung ausgesetzt. (Mit spezifischer innerer Energie meinen wir innere Energie pro Masseneinheit. Innere Energie entsteht durch intermolekulare Kollisionen in der Flüssigkeit und sollte von der kinetischen Energie unterschieden werden, die mit der makroskopischen Flüssigkeitsbewegung verbunden ist (dh$\tfrac{1}{2}mv^2$). Zeigen Sie das, indem Sie Energie sparen

$$\begin{equation} \left[\rho\left(\frac{v^2}{2}+e\right)\right]_{t}+\left[\rho ve+\frac{1}{2}\rho v^3-\kappa(x)T_x+pv-\mu vv_x\right]_x=0, \end{equation}$$ Wo $\kappa$ist die Temperaturleitfähigkeit und $\mu$ist der Viskositätskoeffizient.

Dem Problem ist dieser "Hinweis" beigefügt:

Notiz. Die Energiedichte sollte leicht erkennbar sein. Berücksichtigen Sie für das Flussmittel die folgenden Werte, die jeweils den Begriffen in der obigen Gleichung entsprechen: innere Energie, kinetische Energie, Energieverlust durch Wärme, Energieverlust durch Arbeit gegen Druck, Energieverlust durch Arbeit gegen viskose Spannung.

Ich nehme an, es ist beabsichtigt, dass wir die Erhaltungsgleichung verwenden$u_t+f_x=0$(Wo$u(x,t)$ist eine konservierte Menge und$f$ist der Fluss), aber ich habe große Probleme, die physikalischen Phänomene als Gleichungen zu interpretieren (ich bin ein Mathematikstudent, der peinlich wenig über Physik weiß).

Wenn ich mir die obige Gleichung anschaue, gehe ich davon aus, dass die Energiedichte an einem Punkt einfach die innere Energie plus kinetische Energie ist, oder$mv^2/2+me$, (da spezifische innere Energie innere Energie ist innere Energie pro Masseneinheit), und dann sollten wir das irgendwie argumentieren können$m=\rho A$, und schließlich die$A$wird aufgeteilt. Das Problem, das ich damit habe, ist jedoch, dass ich glaube, dass die Gleichung Masse ist$=$Volumen$\times$Dichte - nicht Fläche - und ich habe ein kleines Problem damit, mir den Zustand konzeptionell zu erlauben$m=A\rho$mit Zuversicht (da jedes Objekt ohne drei räumliche Dimensionen ein Volumen von Null haben sollte, oder?).

Für den Fluss habe ich echte Probleme zu interpretieren, was der "Energiefluss" sein würde, selbst mit seinem Hinweis.

Jede Hilfe wäre sehr willkommen. Hoffentlich wurde diese Frage nicht schon gestellt (ich habe ein bisschen gesucht) und dass sie richtig getaggt wurde. Vielen Dank im Voraus.

Auch Empfehlungen für ein Physikbuch, das sich an Personen mit mathematischem Hintergrund richtet, wären sehr willkommen.

Bitte teilen Sie mir mit, wenn in der Formulierung der Frage etwas unklar ist, und ich werde mein Bestes versuchen, die Dinge zu klären.