Die Gültigkeit konstitutiver Diffusionsflüsse

Question

Die Gültigkeit konstitutiver Diffusionsflüsse

nluigi

Bei Transportphänomenen sind die Diffusionsflüsse für Masse , Energie und Impuls die konstitutiven Gesetze:

J_{C} = - D \nabla C J_{T} = - k \nabla T τ_{v} = - μ \nabla v

$\boldsymbol{j}_c=-D\boldsymbol{\nabla}c \quad \boldsymbol{j}_T=-k\boldsymbol{\nabla}T \quad \boldsymbol{\tau}_{\boldsymbol{v}}=-\mu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v}$ mit

c

$c$ die Massenkonzentration,

T

$T$ die Temperatur,

v

$\boldsymbol{v}$ die Geschwindigkeit. Die Koeffizienten sind die Massendiffusionskoeffizienten

D

$D$ , die Wärmeleitfähigkeit

k

$k$ und die dynamische Viskosität

μ

$\mu$ .

Typischerweise ist es nützlich, den Diffusionsfluss in Bezug auf die Konzentrationsgradienten von Masse, Energie und Impuls zu betrachten. Für den Massendiffusionsstrom gilt dies bereits als $c$ ist die Massenkonzentration, das Ergebnis ist, dass die Einheiten für $D$ Sind $[m^2/s]$ , typische Einheiten für Diffusionskoeffizienten.

Eine schnelle Dimensionsanalyse der anderen Flüsse zeigt, dass diese nicht in Bezug auf Energie- und Impulskonzentration sind und $k$ Und $\mu$ sind keine Diffusionskoeffizienten, dh $k=[W/mK]$ Und $\mu=[Ns/ m^2]$ . Wir können fortfahren, die Flüsse in Bezug auf Energie- und Impulskonzentrationen umzuschreiben:

J_{T} = - \frac{k}{ρ C_{P}} \nabla ρ C_{P} T = - a \nabla ϵ τ_{v} = - \frac{μ}{ρ} \nabla ρ v = - v \nabla P

$\boldsymbol{j}_T=-\frac{k}{\rho c_p}\boldsymbol{\nabla}\rho c_pT=-\alpha\boldsymbol{\nabla}\epsilon\quad \boldsymbol{\tau}_{\boldsymbol{v}}=-\frac{\mu}{\rho}\boldsymbol{\nabla}\rho\boldsymbol{v}=-\nu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{p}$

Hier die Energiekonzentration $\epsilon=[J/m^3]$ und Impulskonzentration $\boldsymbol{p}=[\left(kgm/s\right)/m^3]$ , mit Temperaturleitfähigkeit $\alpha=[m^2/s]$ und kinematische Viskosität $\nu=[m^2/s]$ die dies zeigen, sind die jeweiligen Diffusionskoeffizienten für Energie- und Impulskonzentration.

Die obige Analyse kann nur unter der Annahme der Inkompressibilität durchgeführt werden, und hier entsteht meine Frage:

Warum sind die Stoffgesetze für Diffusionsflüsse nicht in Bezug auf Masse, Energie und Impulskonzentration definiert?

Liegt es einfach daran, dass die Gesetze unter der Annahme des stationären Zustands und der Inkompressibilität formuliert wurden? Was ist, wenn die Inkompressibilität nicht gültig ist, sind die Gesetze dann ungültig?

Als praktisches Beispiel für eine sich dann stellende Fragestellung: Für ein kompressibles Medium müssten wir die Advektions-Diffusionswärmegleichung dennoch schreiben als:

\partial_{T} ρ C_{P} T + \nabla \cdot ρ C_{P} u T = k \nabla^{2} T

$\partial_t\rho c_p T + \boldsymbol{\nabla}\cdot \rho c_p \boldsymbol{u} T = k\nabla^2 T$ oder hätte es folgende Form:

\partial_{T} ρ C_{P} T + \nabla \cdot ρ C_{P} u T = a \nabla^{2} ρ C_{P} T

$\partial_t\rho c_p T + \boldsymbol{\nabla}\cdot \rho c_p \boldsymbol{u} T = \alpha\nabla^2 \rho c_p T$

Kyle Kanos

Ich kann mich nicht erinnern, dass jemand diese Form der Adv-Diff-Gleichung verwendet hat, es ist immer ohne Berücksichtigung

ρ

$\rho$ dass ich gesehen habe, dass es eingesetzt wird (einschließlich meiner eigenen Forschungen).

nluigi

@KyleKanos: Es gab einen Tippfehler in der Gleichung, der sie auch temperaturspezifischer machte. Ich habe es auch nur ohne gesehen

ρ

$\rho$ Überlegt, aber beim Ableiten der adv-diff-Gleichung aus der Boltzmann-Gleichung entdeckte ich, dass ich die zweite Gleichung erhalte ... was mich zum Nachdenken brachte

ρ

$\rho$ wird nie berücksichtigt.

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Die Gültigkeit konstitutiver Diffusionsflüsse

Ich kann mich nicht erinnern, dass jemand diese Form der Adv-Diff-Gleichung verwendet hat, es ist immer ohne Berücksichtigung $\rho$ dass ich gesehen habe, dass es eingesetzt wird (einschließlich meiner eigenen Forschungen).
@KyleKanos: Es gab einen Tippfehler in der Gleichung, der sie auch temperaturspezifischer machte. Ich habe es auch nur ohne gesehen $\rho$ Überlegt, aber beim Ableiten der adv-diff-Gleichung aus der Boltzmann-Gleichung entdeckte ich, dass ich die zweite Gleichung erhalte ... was mich zum Nachdenken brachte $\rho$ wird nie berücksichtigt.

Kyle Kanos · Answer 1

Nachdem ich einige Nachforschungen angestellt hatte, stieß ich auf den Artikel Study of an Advection-Reaction-Diffusion equation in a compressible flow field von Federico Bianco, Sergio Chibbaro, Roger Prud'homme (arXiv-Link). In diesem Papier, das die Advektions-Reaktions-Diffusions-Gleichung wie folgt angibt:

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial ρ ϕ}{\partial T} + \nabla \cdot (ρ ϕ u) = D \nabla \cdot (ρ \nabla ϕ) + S \end{matrix}

$\frac{\partial \rho\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\rho\phi\mathbf u\right)=D\nabla\cdot\left(\rho \nabla\phi\right)+s\tag{1}$ Wo

ϕ

$\phi$ ist eine chemische Spezies (in diesem speziellen Fall) und

D

$D$ wurde als räumlich konstant angenommen. Diese Formel leiteten sie aus der Kontinuitätsgleichung (auf Seite 2) ab.

Sie erklären,

[Diese Gleichung weicht] ab
$\begin{matrix} (6) & \frac{\partial θ}{\partial T} + \nabla \cdot (θ u) = D \nabla^{2} θ + F (θ) \end{matrix}$ $\frac{\partial \theta}{\partial t}+\nabla\cdot\left(\theta\mathbf u\right)=D\nabla^2\theta+F(\theta)\tag{6}$ die häufig in der Literatur zu finden ist, um die Advektion, Diffusion und Reaktion eines Skalars in einer kompressiblen Strömung zu beschreiben. Diese Gleichung ist typisch für die Untersuchung der Populationsdynamik und des Skalars $\theta(x,t)$ , ist die Konzentration einer Population. Dieses Modell ist jedoch für die Konzentration der Verbrennungsprodukte nicht korrekt. Tatsächlich gilt in Gleichung (6), wenn $\nabla\cdot\mathbf u\neq0$ , die Konzentration $\theta$ kann Werte größer als eins annehmen, da es sich nicht um einen Bruchparameter handelt.

Wenn Sie also die Dichte in die Advektions-Diffusions-Gleichung einbeziehen (dh $s=0$ Fall der obigen ARD-Gleichung), dann sollten Sie (1) oben verwenden und nicht Ihren Fall (der sich wie folgt unterscheidet $\nabla^2(\rho T)\to\nabla\cdot\rho\nabla T$ ).

Vielen Dank für Ihre Zeit, es macht Sinn, also werde ich mir das von Ihnen bereitgestellte Papier ansehen.
@nluigi: Kein Problem, ich bin froh, dass ich helfen konnte. Der Gedanke ging mir gestern bei der Arbeit nicht mehr aus dem Kopf, also habe ich mich heute morgen hingesetzt und angefangen zu stöbern.

Thomas · Answer 2

Dies ist eine alte Frage, aber ich denke, die Antwort ist nicht ganz richtig.

Ich denke, das Fazit ist, dass die konstitutive Beziehung für den Energie- und Impulsstrom einzigartig ist und die Beziehung für die Teilchendiffusion verallgemeinert werden sollte.

Wegen der Galilei-Invarianz kann der Impulsstrom nur von Gradienten der Geschwindigkeit abhängen, nicht von der Geschwindigkeit selbst. Die einzigartige Tensorstruktur (ohne Berücksichtigung der Volumenviskosität) ist daher

τ_{v} = - μ \nabla v

${\boldsymbol \tau}_{\boldsymbol{v}}=-\mu\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{v}$ und wir können keine Bedingungen der Form haben

(μ / ρ) \nabla (ρ v)

$(\mu/\rho)\boldsymbol{\nabla}(\rho\boldsymbol{v})$ .

Ebenso muss der Energiestrom proportional zu Gradienten sein $T$ ,

J_{T} = - k \nabla T .

$\boldsymbol{j}_T=-k\boldsymbol{\nabla}T .$ Steigungen von

ρ

$\rho$ oder

P

$P$ den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verletzen (diese Argumente werden in fortgeschritteneren Lehrbüchern zur Fluiddynamik erläutert, siehe Kapitel 49 von Landau und Lifshitz, oder in modernen Lehrbüchern zur Physik der kondensierten Materie, siehe Abschnitt 8.4 in Chaikin und Lubensky).

Der Partikel-(Konzentrations-)Strom ist komplizierter, weil es keinen Grund gibt, nicht beide Begriffe zu haben, die Konzentrationsgradienten (oder chemisches Potential) und Temperaturgradienten beinhalten. Sobald eine Konzentration vorliegt (dh das Fluid hat zwei Komponenten), kann der Wärmestrom eine Dauer haben, die proportional zum Konzentrationsgradienten ist. Das gibt

J = - D [\nabla C + (k_{T} / T) \nabla T) + (k_{P} / P) \nabla P],

${\boldsymbol j} = -D[{\boldsymbol \nabla} c +(k_T/T){\boldsymbol \nabla} T) + (k_P/P){\boldsymbol \nabla} P] ,$ Wo

D, k_{T}, k_{P}

$D,k_T,k_P$ unabhängige Diffusionskonstanten sind (die Funktionen der thermodynamischen Variablen sein können), siehe Kapitel 58 von Landau und Lifshitz.

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