Warum ist die Viskosität diffusiv?

Ich beschäftige mich während meiner Promotion intensiver mit Strömungsmechanik und da ist etwas mit dem Diffusionsbegriff, das mich schon lange stört. Betrachtet man die Konvektionsdiffusionsgleichung:

∂ v ∂ T + A ⋅ ∇ v − ∇ ( v ∇ v ) = F ,

und wenn ich in Ficks Gesetz denke, fällt es mir nicht schwer, an Diffusion als den Prozess zu denken, bei dem sich beispielsweise die Teilchen einer Lösung mit einem Konzentrationsgradienten voneinander entfernen, um die Energie des Systems zu "reduzieren". Da jedes dieser Partikel im Lösungsmittel "bequemer" ist, was dasselbe ist wie "mit dem größeren möglichen freien mittleren Weg".

Aber wenn ich mir jetzt die Navier-Stokes-Gleichung anschaue (unkomprimierbar und viskos):

ρ ( ∂ v ∂ T + v ⋅ ∇ v ) = − ∇ P + μ ∇ 2 v + F

Ich kann den viskosen Begriff leicht als diffusiv ansehen, aber ich kann ihn auf keinen Fall mit dem Fickschen Gesetz in Verbindung bringen. Also, kann mir jemand erklären, wie ich Viskosität als Diffusionsprozess sehen kann?

Wenn Sie daran interessiert sind, warum ich das frage, liegt es daran, dass es in der FEM eine Stabilisierungsmethode namens künstliche Viskosität gibt, die etwas Viskosität hinzufügt, um die Diffusion zu erhöhen und das Modell stabiler zu machen. Ich verstehe also a) warum künstliche Viskosität die Diffusion erhöht, b) warum Diffusion die Gleichung stabilisiert; aber ich verstehe nicht, warum die Viskosität diffusiv ist (abgesehen von der Tatsache, dass μ multipliziert sich ∇ 2 v )

Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier fragen ... Sie sagen, dass Sie mathematisch sehen können, warum "Viskosität" diffus ist - es ist definiert als μ ∇ 2 u es ist also die mathematische Definition eines Diffusionsbegriffs. Suchen Sie nach einer physikalischen Erklärung dafür, was Viskosität ist? Was daran, es mit Ficks Gesetz zu verknüpfen, verwirrt Sie? Das Ficksche Gesetz beschreibt die Konzentrationsänderung einer Größe – in der Impulsgleichung ist diese Größe die Geschwindigkeit.
Auch ein tangentialer Kommentar - künstliche Viskosität ist ein Standardverfahren bei allen numerischen Ansätzen, nicht nur bei FEM.

Antworten (2)

Ja, so etwas habe ich in dem Wikipedia-Artikel geschrieben ...

Die Entsprechung [zwischen der Navier-Stokes-Gleichung und der Konvektions-Diffusions-Gleichung] ist im Fall einer inkompressiblen Newtonschen Flüssigkeit am deutlichsten, in diesem Fall lautet die Navier-Stokes-Gleichung:

∂ M ∂ T = μ ρ ∇ 2 M − v ⋅ ∇ M + ( F − ∇ P )
wobei M der Impuls der Flüssigkeit (pro Volumeneinheit) an jedem Punkt ist (gleich der Dichte ρ multipliziert mit der Geschwindigkeit v ), μ die Viskosität ist, P der Flüssigkeitsdruck ist und f eine beliebige andere Körperkraft wie die Schwerkraft ist. In dieser Gleichung beschreibt der Term auf der linken Seite die Impulsänderung an einem gegebenen Punkt; der erste Term auf der rechten Seite beschreibt die Viskosität, die eigentlich die Diffusion des Impulses ist; der zweite Term rechts beschreibt den advektiven Impulsfluss; und die letzten beiden Terme auf der rechten Seite beschreiben die externen und internen Kräfte, die als Quellen oder Senken des Impulses wirken können.

Ihre Frage lautet also: WARUM ist Viskosität "wirklich die Diffusion von Impuls"?

Denken Sie darüber nach, was die Viskosität bewirkt. Wenn Sie zwei benachbarte Flüssigkeitsregionen mit sehr unterschiedlichen Impulsen haben, z. B. eine sich langsam bewegende Region direkt neben einer sich schnell bewegenden Region, beschreibt die Viskosität den Prozess, bei dem die langsame Region einen Teil des Impulses von der schnellen Region aufnimmt, so dass die Der langsame Bereich bewegt sich schneller und der schnelle Bereich bewegt sich langsamer.

Grundsätzlich "diffundiert" das Momentum herum, was dazu führt, dass nahe gelegene Regionen ein ähnliches Moment erhalten. Das ist der Effekt der hohen Viskosität.

Wenn Sie also makroskopisch und intuitiv darüber nachdenken, ist es sinnvoll, dass der Impuls eine Diffusionsgleichung mit einem Diffusionskoeffizienten proportional zur Viskosität erfüllen sollte.

Okay, das ist meine Antwort. Wenn Sie stattdessen nach einem mathematischen Beweis suchen, der mit der Definition der Viskosität beginnt und mit einem diffusionsähnlichen Begriff endet, kenne ich diesen Beweis nicht ohne Weiteres (obwohl ich sicher bin, dass er existiert). Vielleicht gibt dir jemand anders eine Antwort in diese Richtung. :-D

Der Beweis, den Sie suchen, stammt aus der statistischen Mechanik, wo Sie Moleküle aus dem sich langsam bewegenden Strom betrachten, die durch zufällige thermische Bewegung in den sich schnell bewegenden Strom abgelenkt werden und umgekehrt
Nein, ich möchte keinen mathematischen Beweis, nur eine einfache Erklärung dafür, warum Viskosität die Diffusion des Impulses ist. Tolle Antwort, genau das, wonach ich gesucht habe.

Ich denke, Kapitel 1-3 des Buches Transport Phenomena von Bird et al. könnte helfen zu verstehen, warum.

Betrachten Sie kurz den Spannungstensor τ τ . Wir haben die Navier-Stokes-Gleichung ∇ ⋅ τ τ als viskoser Begriff. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass dies auch ein Diffusionsbegriff ist, als den Sie einen effektiven Flusstensor definieren können

J e F F J e F F = τ τ .

Eine schöne Zusammenfassung des Impulstransports von Flüssigkeiten (dh der Navier-Stokes-Gleichung) ist in Gleichung 3.2-9 enthalten. Diffusion ist ein Synonym für molekularen oder flüssigen Teilchentransport.



Referenz: Bird, RB, Stewart, WE und Lightfoot, EN (August 2001). Transportphänomene (2. Aufl.). John Wiley & Söhne. ISBN 0-471-41077-2.

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