Warum ist die Dämpfungskraft proportional zu vvv und nicht zu v2v2v^2?

Bei niedriger Geschwindigkeit$v$die Strömung der Flüssigkeit um das Objekt herum ist meist laminar und die Widerstandskraft eine viskose Reaktion, die proportional dazu ist$v$.

Bei höherer Geschwindigkeit wird die Strömung jedoch turbulent und es müssen Trägheitskräfte berücksichtigt werden, die auf das strömende Fluid einwirken. Unter diesen Bedingungen wird die Widerstandskraft proportional zum Quadrat von$v$.

Gedämpfte harmonische Schwingungen sind ein extrem breites Paradigma, und es gibt viele physikalisch unterschiedliche Beispiele, bei denen sich die Kraft als Funktion der Geschwindigkeit auf völlig unterschiedliche Weise verhält.

• Im Standard-Amontons-Coulomb-Reibungsmodell haben wir$F\propto v^0 \operatorname{sign}(v)$.

• Im Fall von viskosem Widerstand haben wir$F\propto v^1$.

• Für hohe Geschwindigkeiten haben wir typischerweise ungefähr$F\propto v^2\operatorname{sign}(v)$.

Der Grund, über den die Leute gerne sprechen$F\propto v^1$ist keine Physik, es ist einfach so, dass die resultierenden Lösungen eine einfache analytische Form haben. Eine Möglichkeit zu sehen, warum der Exponent 1 mathematisch besonders ist, besteht darin, dass in diesem Fall die Bewegungsgleichungen in die Form gebracht werden können$x''+ax'+bx=0$(der homogene Fall, dh freie Schwingungen). Dann können wir nehmen$x=e^{rt}$, Wo$r$eine komplexe Zahl ist und die Lösungen Werten von entsprechen$r$das sind Wurzeln eines Quadrats.

Wie von Gert und Kyle Kanos hervorgehoben, ist der Luftstrom bei niedrigen Geschwindigkeiten (wie durch die Reynolds-Zahl bestimmt) laminar. Bei hohen Geschwindigkeiten entsteht die quadratische Abhängigkeit durch Turbulenz, die die Strömung weit entfernt vom Objekt unabhängig von der Strömung in unmittelbarer Nähe des Objekts macht. Man kann dann die Impulsänderung des Luftstroms betrachten, der vom Objekt abgefangen wird. Offensichtlich ist die Impulsänderung, wenn eine gegebene Menge abgefangener Luft proportional zur Geschwindigkeit ist, und die Menge an abgefangener Luft pro Zeiteinheit ist auch proportional zur Geschwindigkeit, daher muss die Reibungskraft quadratisch zur Geschwindigkeit sein.

Bei niedrigen Geschwindigkeiten wird diese Argumentation hinfällig, die durch das sich bewegende Objekt gestörte Luftströmung ist nicht mehr lokal. Man kann anhand der Navier-Stokes-Gleichungen zeigen, dass dies für kleine Geschwindigkeiten zu einer linearen Abhängigkeit der Reibungsgeschwindigkeit von der Geschwindigkeit führt (wobei man die$\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$Begriff). Dies gilt jedoch nur für ein Objekt, das sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt; Gerade die Fernwirkung des sich bewegenden Objekts auf die Flüssigkeit führt dazu, dass die Reibungskraft von der gesamten Geschichte der Flugbahn des Objekts abhängt. Die allgemeine Formel für die Reibungskraft in der niedrigen Geschwindigkeitsgrenze eines kugelförmigen Objekts mit Radius$R$sich mit Geschwindigkeit bewegen$\vec{v}(t)$Ist:

Wo$\vec{a}(t)$ist die Beschleunigung des Objekts,$\nu$ist die kinematische Viskosität$\frac{\eta}{\rho}$Wo$\eta$ist die dynamische Viskosität und$\rho$ist die Dichte der Flüssigkeit. Der zweite Term in Klammern ergibt die bekannte Stokes-Formel für die Reibungskraft. Der erste Term ist der Effekt der Trägheit des Fluids, wenn das Objekt beschleunigt wird, wird ein Teil des Fluids aufgrund der rutschfesten Randbedingungen mitbeschleunigen. Der letzte Term ergibt die Auswirkung der Bewegungsgeschichte des Objekts auf die Reibungskraft.

Dies wird im Wikipedia-Eintrag zu Drag diskutiert (Hervorhebung von ihnen):

Die Gleichung für den viskosen Widerstand oder den linearen Widerstand ist für Objekte oder Partikel geeignet, die sich mit relativ langsamer Geschwindigkeit durch eine Flüssigkeit bewegen, wo keine Turbulenzen auftreten (dh niedrige Reynolds-Zahl ,$\displaystyle R_{e}<1$). Beachten Sie, dass unter dieser Definition eine rein laminare Strömung nur bis Re = 0,1 existiert. In diesem Fall ist die Widerstandskraft ungefähr proportional zur Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzter Richtung. Die Gleichung für den viskosen Widerstand lautet:

$$\mathbf F=-b\mathbf v$$

Da der Autor also von einer laminaren Strömung der Luft um die schwingende Masse ausgeht, verwendet er für den Luftwiderstand die lineare Form (Stokes-Grenze).

Beachten Sie auch, dass die quadratische Form eine Reynolds-Zahl von erfordert$\gtrsim$1000, bevor es gültig ist (hängt auch von der Form des sich bewegenden Objekts ab).