Wie beeinflusst die viskose Dissipation die Flüssigkeitstemperatur im Rohrfluss?

Question

Wie beeinflusst die viskose Dissipation die Flüssigkeitstemperatur im Rohrfluss?

Thermodynamix

Ich betrachte die viskose Dissipation einer inkompressiblen Flüssigkeit in einer voll entwickelten Rohrströmung.

Ich möchte allgemein die Schwankung der Massentemperatur als Funktion der Rohrlänge aufgrund der Viskosität ableiten und verstehen, wie die viskose Dissipation mehr Arbeit erfordert, um eine Flüssigkeit zum Fließen zu bringen.

Die allgemeine Massenströmungsenergiegleichung für ein Rohr lautet:

\dot{M} C_{P} \frac{D T_{B}}{D X} = Q_{w} π D + Q_{D}^{'}

$\dot{m} c_p \frac{dT_b}{dx} = q_w\pi D+q'_d$

Wo $T_b$ ist die Massentemperatur, $q_w$ ist der Wandwärmestrom in die Flüssigkeit, und $q'_d$ ist die viskose Dissipation pro Längeneinheit.

Nun ist die viskose Dissipation per Definition mechanische Energie, die die Entropie der Strömung irreversibel erhöht, und diese ist gegeben durch die Wellenarbeit in das Fluid minus der Änderung der kinetischen Energie minus der reversiblen Strömungsarbeit (pro Längeneinheit, bezeichnet durch Primzahlen $'$ ):

Q_{D}^{'} = \dot{W^{'}} - \dot{M} \frac{D u_{B}^{2}}{D X} - \dot{v} \frac{D P}{D X}

$q'_d = \dot{W'} - \dot{m}\frac{du_b^2}{dx} - \dot{V}\frac{dP}{dx}$

wobei ich daher Wellenarbeit und kinetische Energieänderungen ignoriere

Q_{D}^{'} = \dot{v} \frac{Δ P}{L}

$q'_d = \dot{V}\frac{\Delta P}{L}$

Dies besagt im Grunde, dass höhere Viskositätsverluste einen größeren Druckabfall erfordern, um die Strömung anzutreiben. Macht Sinn, oder?

Nun, für Poiseuille-Fluss in einer Röhre, $\dot{V} = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8 \mu L}$ daher kann ich ersetzen $\dot{V}\frac{\Delta P}{L} = \frac{8\dot{V}^2\mu}{\pi R^4}$ in meinen Ausdruck für $q'_d$ :

Q_{D}^{'} = \frac{8 {\dot{v}}^{2} μ}{π R^{4}} = 8 π μ u_{B}^{2}

$q'_d = \frac{8\dot{V}^2\mu}{\pi R^4} = 8 \pi \mu u_b^2$

Das ist ein schönes Ergebnis, im Grunde steigen unsere viskosen Verluste mit der Viskosität und sie steigen sogar noch mehr mit der Massengeschwindigkeit.

Jetzt kann ich dies in die Massenflussenergiegleichung einsetzen:

\dot{M} C_{P} \frac{D T_{B}}{D X} = Q_{w} π D + 8 π μ u_{B}^{2}

$\dot{m} c_p \frac{dT_b}{dx} = q_w\pi D+8 \pi \mu u_b^2$

Jetzt kann ich aufgrund der viskosen Dissipation und der zusätzlichen Wärme leicht die Massentemperatur als Funktion der Rohrlänge erhalten. Ist diese Analyse richtig?

Alex Trounev

Meinst du

\dot{m} c_{p} d T_{b} / d x = \dots

$\dot {m}c_pdT_b/dx=…$ ?

Thermodynamix

@AlexTrounev ja, ich versuche das in Bezug auf Viskosität und Schüttgeschwindigkeit zu bekommen.

Alex Trounev

Korrigieren Sie dann den Tippfehler.

Thermodynamix

@AlexTrounew welcher Tippfehler? Ich habe den Titel geändert, um genauer zu sein, falls Sie sich darauf beziehen.

Alex Trounev

Nein, nur verwenden

\dot{m} c_{p} \frac{d T_{b}}{d x}

$\dot {m}c_p\frac {dT_b}{dx}$ anstatt

\dot{m} c_{p} \frac{T_{b}}{d x}

$\dot {m}c_p\frac {T_b}{dx}$ .

Antworten (2)

Wie beeinflusst die viskose Dissipation die Flüssigkeitstemperatur im Rohrfluss?

@AlexTrounev ja, ich versuche das in Bezug auf Viskosität und Schüttgeschwindigkeit zu bekommen.
@AlexTrounew welcher Tippfehler? Ich habe den Titel geändert, um genauer zu sein, falls Sie sich darauf beziehen.
Nein, nur verwenden $\dot {m}c_p\frac {dT_b}{dx}$ anstatt $\dot {m}c_p\frac {T_b}{dx}$ .

Chet Miller · Answer 1

Ihre Analyse ist richtig, aber ein viel einfacherer Ansatz besteht darin, die Open-System-Version des ersten Gesetzes direkt anzuwenden:

\dot{Q} - \dot{M} (H_{Ö u T} - H_{ich N}) = 0

$\dot{Q}-\dot{m}(h_{out}-h_{in})=0$ mit

H_{Ö u T} - H_{ich N} = C_{P} Δ T + \frac{Δ P}{ρ}

$h_{out}-h_{in}=C_p\Delta T+\frac{\Delta P}{\rho}$ unter der Annahme einer konstanten Dichte. Plus,

\dot{M} \frac{Δ P}{ρ} = \dot{v} Δ P

$\dot{m}\frac{\Delta P}{\rho}=\dot{V}\Delta P$ Wo

\dot{V}

$\dot{V}$ ist der Volumenstrom.

Beachten Sie jedoch, dass dies alles davon ausgeht, dass der Einfluss der Temperatur auf die Viskosität vernachlässigt werden kann.

Alex Trounev · Answer 2

Wärmegleichung in viskoser inkompressibler Strömung

$\rho c_p(\frac {\partial T}{\partial t}+\vec {v}.\nabla T)=\lambda \nabla ^2 T+\frac {\mu}{2}(\frac {\partial v_i}{\partial x_k}+\frac {\partial v_k}{\partial x_i})^2$

Bei einer Poiseuille-Strömung können die Terme berechnet und über den Rohrquerschnitt gemittelt werden.

Dies würde nur dazu führen $\dot{V}\Delta P$ wenn gemittelt.
Warum fragwürdige Hypothesen verwenden, wenn es eine exakte Gleichung gibt?
Würden Sie den ersten Hauptsatz der Thermodynamik als fragwürdige Hypothese bezeichnen?
@ChesterMiller Wir diskutieren hier nicht das erste Gesetz der Thermodynamik, sondern wie sich die viskose Dissipation auf die Temperatur der Flüssigkeit im Rohr auswirkt.
Gibst du wirklich zu, dass du den Zusammenhang nicht siehst? Die Gleichung, die Sie geschrieben haben, ist nur die Differentialform der Open-System-Version des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, kombiniert mit der mechanischen Energiebilanzgleichung (dh der Bewegungsgleichung, die mit dem Geschwindigkeitsvektor gepunktet ist) und der mechanischen konstitutiven Gleichung für eine viskose Flüssigkeit Newtonsche Flüssigkeit. Ich behaupte, dass ich, wenn ich diese Gleichung über das Volumen des Rohrs integriere, das gleiche Ergebnis erhalte, das @Drew und ich erhalten haben, ohne tatsächlich nach der Temperaturverteilung zu lösen.
@ChesterMiller Verstehst du, dass du beim Mitteln der genauen Gleichung einige Hypothesen verwenden musst, die nicht immer erfüllt sind?
Bitte lassen Sie mich Ihnen nicht im Detail zeigen, wie es gemacht wird.
@ChesterMiller Nein, nicht zeigen, sondern nur die Hypothesen nennen, die Sie verwenden - fragwürdige Hypothesen.
Nein. Noch besser. Da Sie die Notwendigkeit von Hypothesen andeuten, nennen Sie die fragwürdigen Hypothesen, von denen Sie glauben, dass ich sie aufstellen muss.

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