Explizite Form der Entropieproduktion in der Hydrodynamik

Jede Kontinuumstransportgleichung wird unter Verwendung des Reynolds-Transporttheorems von einem Gegenstück eines geschlossenen Systems abgeleitet. Im Allgemeinen sind die Schritte zum Ableiten eines Ausdrucks für die Rate der Entropieerzeugung:

1. Wenden Sie den Reynolds-Transportsatz auf die Energieerhaltung an und geben Sie eine Gleichung für die Änderungsrate der (inneren plus kinetischen) Energie an.
2. Erkenne das $$\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}\left(\frac{\left| \vec{v} \right|^2}{2} \right) = \vec{v} \cdot \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} \vec{v}$$ und damit lässt sich direkt aus der Impulsgleichung eine Gleichung für die Änderungsgeschwindigkeit der kinetischen Energie ableiten
3. Subtrahiere Ergebnis (2) von Ergebnis (1), um eine Gleichung für die Änderungsrate der inneren Energie zu erhalten
4. Wenden Sie das Transporttheorem von Reynolds auf die Entropiebilanz an. Dies ergibt eine Gleichung mit sowohl der Entropieänderungsrate als auch der Entropieerzeugungsrate.
5. Wende die Gibbs-Beziehung an $$\text{d} u = T \text{d}s - P \text{d}v$$ Um die Änderungsrate der Entropie mit der Änderungsrate der inneren Energie und des spezifischen Volumens in Beziehung zu setzen: $$\begin{align*} \frac{\text{D}}{\text{D}t} u &= T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s - P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v \\ T \frac{\text{D}}{\text{D}t}s &= \frac{\text{D}}{\text{D}t} u + {P \frac{\text{D}}{\text{D}t}v} \end{align*}$$ Beachten Sie, dass ich die Änderungsrate des spezifischen Volumens vernachlässigen werde, da ich annehme, dass Landau die Flüssigkeit als inkompressibel behandelt.
6. Unterergebnis (3) in Ergebnis (5)
7. Ergebnis (6) in Ergebnis (4) umwandeln
8. Brechen Sie den Gesamtspannungstensor auf$\sigma$in eine isotrope, nach innen gerichtete Druckkomponente$-pI$(Wo$I$ist die Identitätsmatrix) und eine viskose Komponente$\tau$, dh,$\sigma=-pI + \tau$. Die Druckkomponente hebt sich auf, was zeigt, dass durch Druck geleistete Arbeit keine Entropie erzeugt und daher reversibel ist (Hinweis: Diese Aufhebung tritt auch dann auf, wenn die Flüssigkeit komprimierbar ist – Arbeit durch thermodynamischen Druck ist immer reversibel).
9. Ordne für die Entropieerzeugung um

Unter der Annahme, dass Landau die Wärmeübertragung vernachlässigt, werden die Ergebnisse dieser Schritte sein

1. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u+ke) = \vec{\nabla}\left(\vec{v}\cdot\sigma\right) + \vec{v} \cdot \vec{b}$Wo$\vec{b}$ist die Körperkraft
2. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (ke) = \vec{v}\cdot \vec{\nabla}\sigma + \vec{v} \cdot \vec{b}$
3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
4. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (s) = \rho\dot{s}_\text{gen}$(andere Begriffe würden hier erscheinen, wenn Wärmeübertragung vorhanden wäre)
5. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\left( \rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} u \right)$
6. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t}s = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$
7. $\frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$
8. Ergebnis ist$\frac{1}{T}\tau:\vec{\nabla}\vec{v} = \rho\dot{s}_\text{gen}$Weil$I:\vec{\nabla}\vec{v} = 0$
9. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{1}{T}\sigma:\vec{\nabla}\vec{v}$

Wenn viskoser Spannungstensor gegeben durch

$$\tau = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right) = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)$$ dann sind die wichtigen Ergebnisse:

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = \frac{\eta}{2}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = \frac{\eta}{2T}\left( \vec{\nabla}\vec{v} + \left( \vec{\nabla}\vec{v} \right)^\text{T} \right)^2 = \frac{\eta}{2T} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)^2$

Im invisziden Fall$\tau = 0$, also vereinfachen sich diese Ergebnisse zu

3. $\rho\frac{\text{D}}{\text{D}t} (u) = 0$
4. $\rho\dot{s}_\text{gen} = 0$

Ich stelle fest, dass die Gleichung, die Sie für die Änderungsrate der kinetischen Energie anführen, eng mit der Gleichung verwandt ist, die ich für die Änderungsrate der inneren Energie anführe. Ich glaube, dass Landaus Ausdruck von der Annahme herrührt, dass die Gesamtenergie des Systems konstant ist und daher die Änderung der kinetischen Energie dem Negativen der Änderung der inneren Energie entsprechen muss ... oder etwas in dieser Richtung.

Um auf deine Frage zurückzukommen:

• Die obige Ableitung zeigt, wie sowohl die viskosen als auch die nicht viskosen Ergebnisse unter Verwendung desselben Arguments abgeleitet werden können. Man kann behaupten, dass experimentelle Beweise zeigen, dass reibungsfreier Fluss reversibel ist und daher keine Entropie erzeugt, aber das entsprechende Argument für den viskosen Fall unterstützt nur die Schlussfolgerung, dass die Entropieerzeugung ungleich Null ist (es erzeugt keinen spezifischen Ausdruck )
• Der Ausdruck, den Sie für die Entropieerzeugung vorschlagen, hat die gleiche Form wie der, den ich herleite, aber ich würde dies nicht als allgemeines Ergebnis ansehen - die Entropieerzeugung hängt nicht immer mit der Änderungsrate der Kinetik zusammen Energie auf diese Weise

• Was in Bezug auf die Entropie passiert, ist:

  • die Druckkomponente der Spannung wirkt reversibel und erzeugt daher keine Entropie
  • Die viskose Komponente der Spannung (die immer dann vorhanden ist, wenn Geschwindigkeitsgradienten in einem viskosen Medium vorhanden sind) wirkt irreversibel und erzeugt daher Entropie. Wir können eine Analogie zwischen Wärmeübertragung und viskoser Dissipation ziehen: Beide erzeugen Entropie, indem sie Gradienten abflachen lassen -$T$Gradienten für die Wärmeübertragung und$\vec{v}$Gradienten für viskose Dissipation

Beachten Sie, dass wir auch darauf schließen können$\eta \geq 0$, als negativ$\eta$würde eine negative Entropieerzeugung ergeben.