Viskosität des idealen Gases aus der Dimensionsanalyse

Question

Viskosität des idealen Gases aus der Dimensionsanalyse

Physik
ideales Gas
Viskosität
Flüssigkeitsdynamik
Thermodynamik
Dimensionsanalyse

Frysen

Zusammenfassung

Aus der Dimensionsanalyse ergebe ich, dass die dynamische Viskosität eines idealen Gases von seinem Druck abhängen muss $p$ , Dichte $\rho$ und mittlere molekulare freie Weglänge $l$ auf diese Weise:

μ = C \sqrt{ρ P} l .

$\mu = C \sqrt{\rho p} l.\quad$

Hier, $C\geq0$ ist eine dimensionslose Konstante.

Ich finde es jedoch kontraintuitiv, dass die dynamische Viskosität, die "innere Reibung", der Flüssigkeit mit zunehmender mittlerer freier Weglänge zunimmt. Meine Intuition sagt mir, dass die innere Reibung gering ist, wenn die Moleküle weit voneinander entfernt sind.

Habe ich eine Menge übersehen, die in den Ausdruck eingehen sollte?
Ist meine Ableitung auf andere Weise fehlgeschlagen?
Ist mein intuitives Bild falsch?

Die Ableitung

In einem idealen Gas interagieren Moleküle nur durch elastische Stöße. Die Zustandsgleichung lautet:

P = ρ R T . (1)

$p = \rho R T. \quad (1)$

Die Variablen und ihre Einheiten sind:

$p$ : Druck [kg/(ms $^2$ )]
$\rho$ : Dichte [kg/(m $^3$ )]
$R$ : Spezifische Gaskonstante [m $^2$ /(S $^2$ K)]
$T$ : Temperatur [K]

Im Allgemeinen sind dies Feldvariablen, also $p = p(\mathbf{x},t)$ , $\rho = \rho(\mathbf{x},t)$ Und $T = T(\mathbf{x},t)$ . In der Fluiddynamik ist eine gängige Annahme, dass sich jedes infinitesimal kleine Volumen im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, sodass (1) an jedem Punkt in der Flüssigkeit gilt. Ich gehe von dieser Annahme aus. Ich gehe auch davon aus, dass die Flüssigkeit "Newtonsch" ist, sodass der viskose Spannungstensor proportional zur Dehnungsrate ist. Die Proportionalitätskonstante ist die dynamische Viskosität, $\mu$ , dessen Einheit [kg/(ms)] ist.

Die dynamische Viskosität ist eine „Materialeigenschaft“; sie ist unabhängig von der Bewegung der Flüssigkeit. Im Allgemeinen variiert es über den Raum, so dass $\mu = \mu(\mathbf{x},t)$ . Sein Wert ist eine Eigenschaft des Materials und hängt von seinem thermodynamischen Zustand ab.

Es scheint unmöglich zu finden, wie $\mu$ hängt vom thermodynamischen Zustand aus (1) ab. Der Druck hat "fast" die richtigen Einheiten, aber ich muss den Druck mit einer Zeitskala multiplizieren $\tau$ [S]. Diese Zeitskala muss von den mikroskopischen Eigenschaften des Materials abhängen, und ich finde es nur möglich, sie zu konstruieren, indem ich die verwende $l$ [m] die mittlere freie Weglänge der Moleküle in der Flüssigkeit. Die konstruierte Zeitskala ist:

τ = \sqrt{\frac{ρ}{P}} l . (2)

$\tau = \sqrt{\frac{\rho}{p}} l.\quad (2)$

Mit (2) finde ich, dass die dynamische Viskosität davon abhängen muss $p$ , $\rho$ Und $l$ auf diese Weise:

μ = C \sqrt{ρ P} l, (3)

$\mu = C \sqrt{\rho p} l,\quad (3)$

Wo $C\geq0$ ist eine dimensionslose Konstante.

Chet Miller

Tatsächlich hängt die Viskosität eines idealen Gases (dh eines realen Gases im Grenzbereich niedriger Drücke) nicht von p ab. Siehe Bird, Stewart und Lightfoot, Transport Phenomena für die Ableitung, die Sie suchen.

Frysen

Ist das wirklich wahr? In einem solchen Fall für eine feste

R

$R$ , ich bin mir ziemlich sicher, dass ich eine Menge zusätzlich benötige

ρ

$\rho$ ,

p

$p$ ,

T

$T$ , Und

l

$l$ um die Viskosität zu konstruieren. Ich kann mir keine solche Menge vorstellen. Welcher wäre das?

Chet Miller

Siehe meine Antwort unten.

Antworten (2)

Viskosität des idealen Gases aus der Dimensionsanalyse

Tatsächlich hängt die Viskosität eines idealen Gases (dh eines realen Gases im Grenzbereich niedriger Drücke) nicht von p ab. Siehe Bird, Stewart und Lightfoot, Transport Phenomena für die Ableitung, die Sie suchen.
Ist das wirklich wahr? In einem solchen Fall für eine feste $R$ , ich bin mir ziemlich sicher, dass ich eine Menge zusätzlich benötige $\rho$ , $p$ , $T$ , Und $l$ um die Viskosität zu konstruieren. Ich kann mir keine solche Menge vorstellen. Welcher wäre das?

Pirx · Answer 1

Ihre Intuition ist in dieser Hinsicht falsch. Betrachten Sie eine eindimensionale stetige Strömung, sagen wir in der $x$ -Richtung, mit einem Geschwindigkeitsgradienten in der $y$ -Richtung. Somit haben die Teilchen auf einem gegebenen Niveau eine durchschnittliche Geschwindigkeit

\bar{u} = (u (j), 0, 0)^{T},

$\bar{\mathbf u}=(u(y), 0, 0)^T,$ und schwankende Geschwindigkeiten

u^{'} = (u^{'}, v^{'}, w^{'})^{T} .

${\mathbf u}'=(u', v', w')^T.$

Betrachten wir die Teilchen zu dieser Zeit $t_0$ befinden sich bei $(x,y_0)^T$ , die Geschwindigkeiten haben ${\mathbf u}=(u_0+u', v', w')^T.$ Diese Partikel legen im Durchschnitt eine Strecke zurück, die der mittleren freien Weglänge entspricht $l$ mit dieser Geschwindigkeit, bevor er auf andere Teilchen trifft. Die Partikel werden also zu einem anderen gewandert sein $y$ Position, wo die durchschnittliche Teilchengeschwindigkeit sein wird

\bar{u (j)} = (u (j_{0}) + (j - j_{0}) \frac{\partial u}{\partial j}, 0, 0)^{T} .

$\bar{\mathbf u(y)}=(u(y_0)+(y-y_0)\frac{\partial u}{\partial y}, 0, 0)^T.$ Beachten Sie, dass der durchschnittliche Unterschied in der

x

$x$ -Komponente der Geschwindigkeit solcher Teilchen wird daher proportional zur mittleren freien Weglänge sein

l

$l$ mal ein Integral

I

$I$ über die Verteilung von

v^{'}

$v'$ Und

w^{'}

$w'$ Geschwindigkeiten, die hier keine Rolle spielen: Wir haben

y - y_{0} = I l

$y-y_0=I\,l$ . Die mittlere Geschwindigkeitsdifferenz für solche Teilchen ist daher gerade

\bar{Δ u} = I l (\partial u / \partial y)

$\bar{\Delta u}=I\,l\,(\partial u/\partial y)$ .

Da angenommen wird, dass die mittlere Geschwindigkeit konstant bleibt, wird die Geschwindigkeit solcher Teilchen an die neue angepasst $y$ -Position. Viskose Kräfte entsprechen der dafür erforderlichen Arbeit. Diese Kräfte müssen daher proportional zum Geschwindigkeitsgradienten mal der mittleren freien Weglänge sein.

PS: Siehe auch die Herleitung im Wikipedia-Artikel zur Viskosität .

Vielen Dank für ein sehr gutes Argument, warum die Viskosität mit ansteigt $l$ . Daraus hat sich mein intuitives Bild von Viskosität entwickelt. Stimmen Sie diesem Bild Ihrer Argumentation zu: „Wenn die mittlere freie Weglänge lang ist, ist das Fluid stärker ‚verschränkt‘ drücken/ziehen sich gegenseitig über eine gewisse Distanz. Wenn Sie jede Feder länger machen (Erhöhung des mittleren freien Wegs), werden verschiedene Teile der Flüssigkeit "verbundener" (tatsächlich viskoser). "
Ja, der Begriff der „erhöhten Verstrickung“ scheint eine sinnvolle intuitive Metapher für das zu sein, was geschieht. Die erhöhte "Verwicklung" bedeutet, dass es einen höheren Widerstand gegen Scherverformung gibt.

Chet Miller · Answer 2

Chet Miller

Nach Bird, Stewart und Lightfoot, Transport Phenomena, Kapitel 1, erhielt Maxwell (1860) den folgenden Ausdruck für die Viskosität eines idealen Gases, das aus starren Kugeln besteht:

μ = \frac{2}{3 π} \frac{\sqrt{π M k T}}{π D^{2}}

$\mu=\frac{2}{3\pi}\frac{\sqrt{\pi mkT}}{\pi d^2}$ wobei m die Masse jeder Kugel und d ihr Durchmesser ist. Die Herleitung ist im Buch dargestellt. Beachten Sie, dass dieser Ausdruck tatsächlich druckunabhängig ist. Sie zeigen auch ein Diagramm der reduzierten Viskosität als Funktion der reduzierten Temperatur und des reduzierten Drucks.

Frysen

Was ist

k

$k$ ? Boltzmanns Konstante?

Frysen

Wenn dem so ist, dann stimmt mein Ausdruck damit überein. Bedenken Sie, dass die Masse

m

$m$ jeder Kugel ist gleich der Dichte

ρ

$\rho$ dividiert durch die Anzahldichte

η

$\eta$ :

M = \frac{ρ}{η} . (1)

$m = \frac{\rho}{\eta}. \quad (1)$ Die Zustandsgleichung lautet:

P = η k T . (2)

$p = \eta k T. \quad (2)$ (1) und (2) ergibt:

M k T = \frac{P ρ}{η^{2}} .

$m k T = \frac{p \rho}{\eta^2}.$ Daher:

\frac{\sqrt{M k T}}{D^{2}} = \frac{\sqrt{P ρ}}{η D^{2}} .

$\frac{\sqrt{m k T}}{d^2} = \frac{\sqrt{p \rho}}{\eta d^2}.$

η d^{2}

$\eta d^2$ sollte proportional zum Kehrwert der mittleren freien Weglänge sein (Kehrwert von Querschnittsfläche mal Anzahldichte), also:

μ \propto \sqrt{ρ P} l .

$\mu \propto \sqrt{\rho p}l.$

Frysen

Aber Sie haben einen wichtigen Punkt darin, dass für den Fall der starren Kugel und wenn die Herleitung in Transportphänomene richtig ist, die Viskosität für eine gegebene molekulare Zusammensetzung nur von der Temperatur abhängt. Die Antwort darauf

ρ

$\rho$ Und

p

$p$ meine Gleichung muss sein, dass sie wiederum davon abhängen

m

$m$ Und

d

$d$ .

Chet Miller

Schauen Sie sich die Herleitung in Transportphänomene an. Dies ist ein Buch, das die Zeit überdauert hat. Es wird nun seit fast 70 Jahren verwendet, wobei eine aktualisierte Version etwa 2002 herauskam. Ich habe dieses Buch während meiner langen Karriere mehr als alle anderen Bücher zusammen verwendet.

Viskosität des idealen Gases aus der Dimensionsanalyse

Frysen

Chet Miller

Frysen

Chet Miller

Antworten (2)

Pirx

Frysen

Pirx

Chet Miller

Frysen

Frysen

Frysen

Chet Miller

Wie beeinflusst die viskose Dissipation die Flüssigkeitstemperatur im Rohrfluss?

Die Gültigkeit konstitutiver Diffusionsflüsse

Wie berechnet man das spezifische Gewicht der Luft?

Stokessches Gesetz Proportionalität zum Radius

Wie sollte ich mir eine Flüssigkeit in Bezug auf das interatomare Potential und die molekulare Geschwindigkeit vorstellen?

Wie verursacht Viskosität Dissipation? [geschlossen]

Intuitive Erklärung des Poiseuilleschen Gesetzes – warum r4r4r^4?

Warum hängt die Viskosität vom Maßstab der Dinge ab?

Wie finden wir Kraft, um pV=Nmv2pV=Nmv2pV=Nmv^2 abzuleiten?

Erdähnliche Atmosphäre bricht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aufgrund von Wärmeleitung?