Erdähnliche Atmosphäre bricht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aufgrund von Wärmeleitung?

Betrachten Sie ein neutrales Gas um eine erdähnliche Atmosphäre mit gegebener Dichte, Druck und Temperatur ρ ,   P Und T bzw. Um das System geschlossen zu halten, nehmen Sie an, dass die Atmosphäre weit von irgendeinem Stern entfernt ist und keine Wärme vom Planeten darunter kommt. Die Bewegungsgleichung für das Gas ist gegeben durch:

ρ D v → D T = − ∇ P − ρ ∇ Φ ,
Wo Φ ist die Gravitationspotentialenergie, gegeben durch:
Φ = − G M R + R ,
Wo R ist der Radius des Planeten und R ist die Entfernung von der Oberfläche des Planeten. Nun nehmen wir an, dass die Atmosphäre stationär und achsensymmetrisch ist und daher nur davon abhängt R . Die Bewegungsgleichung reduziert sich auf:
D P D R = − ρ D Φ D R .
Es wird auch angenommen, dass die Energie gleichmäßig über die Atmosphäre verteilt wird, so dass:
D D R ( ρ Φ + P γ − 1 ) = 0 ,
Wo γ = 5 / 3 ist das Verhältnis der spezifischen Wärmen und wir nehmen an, dass unser Gas ein einatomiges ideales Gas ist. Die Lösung der beiden obigen Gleichungen lautet:
ρ = A | Φ | 1 / ( γ − 1 ) − 1 ,
P = A ( γ − 1 ) | Φ | 1 / ( γ − 1 ) + B ,
Wo A Und B sind Integrationskonstanten. Der Schlüsselaspekt der Lösung ist, dass es einen Temperaturgradienten gibt. Daher würde die Leitung dazu dienen, die Temperaturgradienten zu glätten. Aber das würde bedeuten, dass die Energie nicht mehr gleichmäßig verteilt ist, also bedeutet das sicher, dass die Entropie abgenommen hat? Verstößt das gegen den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik?

Die Frage lautet also: "Ich habe eine Situation aufgebaut, in der die Atmosphäre an einigen Stellen heiß und an anderen kalt ist. Wie ist es möglich, dass Wärme fließt?" Es beantwortet sich im Grunde von selbst. Sie können einen Wärmefluss haben, weil Sie nicht mit einer einheitlichen Temperatur begonnen haben.

Antworten (1)

Warum nehmen Sie an, dass diese Entropie maximiert wird, indem die Energie gleichmäßig über alle Höhen verteilt wird? Die gleichmäßige Verteilung der Energie über den Raum trägt zur Entropie bei, aber es ist nicht der einzige Beitrag, und genau das sagt Ihnen der Temperaturgradient in Ihrer Lösung.

Es gibt zwei Gründe, warum diese Annahme fehlschlägt. Erstens gibt es eine Entropie, die damit verbunden ist, wie Partikel selbst im Raum verteilt sind (alle anderen gleichen Partikel wollen so weit wie möglich verteilt sein). Dies ist eindeutig nicht unabhängig von der potenziellen Gravitationsenergie, und daher muss ein Kompromiss zwischen gefunden werden 2.

Zweitens gehen Sie durch die Konzentration auf die Energiedichte davon aus, dass alle Energiearten für die Entropie "gleich zählen". Dies ist jedoch nicht wahr. Insbesondere können Partikel in 3 Richtungen kinetisch sein (wir können Ihnen sagen, dass Sie 3 Freiheitsgrade haben, weil γ = 5 2 ), aber nur 1 Richtung beeinflusst die potentielle Energie. Dies bedeutet, dass es für ein bestimmtes Gasvolumen dreimal so viele Möglichkeiten gibt, eine bestimmte innere Energie zu haben, als für dieselbe potentielle Energie, und daher zählt die innere Energie dreimal für die Entropie. Das bedeutet, dass Sie mehr Energie in der inneren Energie als in der potentiellen Energie erwarten.

Genau, Gleichgewicht entsteht nicht durch gleichmäßige Energieverteilung, sondern durch gleiche Temperaturen.
Danke für die Antwort. Sehe ich das richtig:
D D R ( ρ Φ + 3 P γ − 1 ) = 0 ,
würde maximale Entropie geben? Alle Hinweise auf Bücher usw., wo ich mehr herausfinden kann, würden auch sehr geschätzt.
Nein, würde es nicht, weil es immer noch nur die Entropieverteilung und nicht den vollständigen Zustand des Gases berücksichtigt. Wie der vorherige Kommentar sagte, ist die richtige Bedingung für die Maximierung der Entropie, dass die Temperatur über dem Gas konstant ist (beachten Sie, dass dies nicht für die reale Atmosphäre gilt, da sie sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht befindet und sich daher nicht in der maximalen Entropiekonfiguration befindet). Die konstante Temperaturbedingung ermöglicht es Ihnen, die Zustandsgleichung zu verwenden, um den Druck und die Dichte in Beziehung zu setzen. Für ein ideales Gas reduziert sich dies auf P / ρ = C Ö N S T
Gehe ich also richtig in der Annahme, dass die Erdatmosphäre isothermisch werden würde, wenn die Sonne verschwinden würde und die Erde aufhören würde, Wärme auszustrahlen, und die Magnetosphäre verschwinden würde?
Wenn Sie lange genug warten, wird sich die Temperatur in einem isolierten System ausgleichen, an diesem Punkt befindet sich das System im thermodynamischen Gleichgewicht und die Entropie wird maximiert. Isotherm ist ein Begriff, der zur Beschreibung von Prozessen und nicht von Systemen verwendet wird, daher ist er in diesem Zusammenhang nicht sinnvoll.
Erdähnliche Atmosphäre bricht den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aufgrund von Wärmeleitung?
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