Maximale Arbeit durch Mischen von 2 Gasen

Die Entropie von$N$Moleküle eines idealen Gases in einem Volumen$V$bei Temperatur$T$kann ausgedrückt werden als:

Hier$V_0$Und$T_0$beliebige Standardbedingungen definieren, bei denen die Entropie bekannt ist, und$C_v$ist die Gesamtwärmekapazität bei konstantem Volumen. Um diese Formel abzuleiten, können Sie die Entropieänderung von den Standardbedingungen zum Endzustand unter Verwendung eines isothermen Prozesses bei konstantem Druck betrachten, bei dem dem System Wärme zugeführt wird, was den ersten Term ergibt. Danach können wir die Temperatur von ändern$T_0$Zu$T$Indem dem System bei konstantem Volumen Wärme zugeführt wird, ist die Entropieänderung aufgrund dieses Prozesses durch den zweiten Term gegeben.

Die Anfangsentropie des Systems kann somit ausgedrückt werden als:

Wo$K$eine Konstante ist (für Probleme, bei denen sich die Gesamtzahl der Moleküle im System nicht ändert). Der Endzustand ist ein Zustand, in dem sich die Moleküle in einem Volumen von befinden (oder als solche angesehen werden können).$V_1 + V_2$bei irgendeiner Temperatur$T_f$. Wenn keine Arbeit mehr entzogen werden kann, müssen die Gase in den beiden Kästen im thermischen Gleichgewicht zueinander stehen und dann spielt es keine Rolle, ob es zu einer Trennung zwischen den Gasen kommt oder nicht. Die endgültige Entropie ist somit gegeben durch:

Dann gilt für jeden Prozess, an dem nur die beiden Kästchen beteiligt sind,$S_{\text{final}}\geq S_{\text{initial}}$. Die maximale Menge an Arbeit, die wir aus dem System herausziehen können, erhalten wir im reversiblen Fall, in dem die Entropie gleich bleibt. Wir können dies sehen, indem wir zwei Prozesse betrachten, einen, bei dem die Entropie zunimmt, und einen, bei dem sie gleich bleibt. Dann können wir von letzterem zu ersterem übergehen, indem wir die in Form von Arbeit gewonnene Energie als Wärme bei konstantem Volumen in das System einspeisen$V_1+V_2$bis wir die gleiche Entropie wie das erstere System erreichen (und damit auch die Endtemperatur des letzteren Systems, da Volumen, Entropie und Anzahl der Moleküle den thermodynamischen Zustand des Systems vollständig bestimmen). Da wir dann Arbeit vergeudet haben, um zum früheren Endzustand zu gelangen, ist man bei Entropieerhöhung immer schlechter dran als bei gleich bleibender Entropie.

Um den maximalen Arbeitsaufwand zu finden, müssen wir also gleichsetzen$S_{\text{final}}$Zu$S_{\text{initial}}$, können wir dann auflösen$T_{f}$, der Abfall der inneren Energie ist dann die dem System maximal entzogene Arbeit (man beachte, dass dem System keine Wärme zugeführt oder entzogen werden kann, da die Gesamtentropie gleich geblieben ist, also die gesamte innere Energieänderung fällig ist arbeiten). Auflösen für$T_f$Erträge:

wo wir das verwendet haben$C_V = \dfrac{f}{2}N k$Und$\gamma = \dfrac{f+2}{f}$Wo$f$ist die effektive Anzahl von Freiheitsgraden pro Molekül.

Der Gesamtarbeitsaufwand$W$die extrahiert werden kann, ist daher gleich:

Das hast du ganz gut hinbekommen. Um die maximale Arbeit herauszuholen, können Sie manuell eine adiabatische Trennwand zwischen ihnen halten und den Gasen erlauben, die Trennwand sehr allmählich zu bewegen, bis sich die Drücke ausgleichen. Die Arbeit, die die Trennwand auf Ihre Hand überträgt, ist die maximale Arbeit. Dies entspricht dem Netz, wenn jedes Gas adiabatisch und reversibel sein Volumen ändert, bis jedes einen Enddruck erreicht, der dem des anderen entspricht. Drücken Sie also zuerst den Druck als Funktion des jeweiligen Volumens aus und setzen Sie die Enddrücke gleich. Dies wird Ihnen das endgültige Volumen von jedem, den endgültigen Druck und den endgültigen Zustand mitteilen. Dann können Sie die von jedem geleistete Arbeit und dann die Nettoarbeit berechnen.