Einfachere Herleitung der Sackur-Tetrode-Gleichung

Gibt es einen Grund, warum die folgende Ableitung für die Sackur-Tetrode-Gleichung nicht üblich ist? Ich unterrichte eine Klasse auf niedrigerem Grundniveau und möchte sie mit einfacheren Begriffen ableiten, bei denen nur die relative Lautstärke verwendet wird.

Die Gleichung lautet:

k N ln ⁡ v N λ 3 ,
Wo λ 3 ist die Kubikzahl der thermischen Wellenlänge oder das Quantenvolumen für ein Teilchen.

Da jedes Teilchen ein Volumen von hat λ 3 , die Gesamtzahl der Positionen in dem Volumen für ein Teilchen ist N = v λ 3 , Und N ist die Gesamtzahl der Teilchen.

  1. Unter Verwendung der Binomialverteilung ist die Definition von S aus der Boltzmann-Gleichung ist:
    S = k ln ⁡ Ω = k ln ⁡ [ N ! N ! ( N − N ) ! ]
  2. Ersatz für N = v λ 3 ,
    S = k ln ⁡ [ ( v λ 3 ) ! N ! ( v λ 3 − N ) ! ]
  3. Unter Verwendung der Näherung von Stirling:
    S = k [ v λ 3 ln ⁡ ( v λ 3 ) − ( v λ 3 − N ) ln ⁡ ( v λ 3 − N ) − N ln ⁡ ( N ) ]
  4. Verwenden der Annäherung ln ⁡ ( v λ 3 − N ) = ln ⁡ ( v λ 3 ) für v λ 3 ≫ N
    S = k [ N ln ⁡ ( v λ 3 ) − N ln ⁡ ( N ) ]
  5. Algebra manipulieren.
    S = k N ln ⁡ v N λ 3

Ich würde das gerne in meiner Klasse verwenden, weil es einfacher und sauberer ist und eine Art chemische Intuition entwickelt, die auf der Binomialverteilung basiert. Allerdings möchte ich wissen, ob das so richtig ist. Ich habe diese Gleichung ohne gesehen 5 / 2 Begriff vor.

Bearbeiten: Die physikalische Annahme, die ich für ungültig halte, ist die Verwendung von N as v λ 3 . Die Binomialverteilung ist gültig, wenn Sie n Teilchen haben, die in N DISCREET-Positionen passen. Das würde für eine Box von Volume V mit N Slots, die durch Partitionen getrennt sind, gut funktionieren. Aber in diesem Fall hat das Volumen V keine Partitionen und ist kontinuierlich. In diesem Fall ein Volumen λ 3 kann in Positionen passen, die nicht diskret definiert sind. Dies erzeugt eine technisch unendliche Anzahl von N's. Wäre das also noch gültig Ω in der Boltzmann-Gleichung verwendet werden?

Hallo Ted, Mathjax wird auf dieser Seite für Ausdrücke wie die oben genannten verwendet, und da es alle möglichen Antworten wahrscheinlicher macht, imo, könnte es sich für Sie lohnen, eine schnelle Bearbeitung vorzunehmen. Viel Glück bei deiner Frage.
Danke für den Tipp. Ich habe gerade Mathjax gelernt, was ziemlich einfach war. Hoffentlich antworten einige Leute.
Außerdem denke ich, dass Leute, die Ihre Fragen beantworten, Ihre harte Arbeit kopieren und einfügen können, was die Chancen auf eine Antwort erhöht.
Die Leute stimmen dafür, Ihre Frage zurückzustellen, was möglicherweise daran liegt, dass nicht wirklich klar ist, warum Sie vermuten, dass diese Ableitung möglicherweise nicht korrekt ist. Wenn Sie das erweitern könnten, würde dies die Frage meiner Meinung nach erheblich verbessern. Wir neigen dazu, hart mit Fragen umzugehen, die uns nur auffordern, etwas zu überprüfen, teilweise als Maßnahme, um Menschen davon abzuhalten, Hausaufgabenhilfe zu suchen.
PS Ich habe die mathematische Formatierung für Sie korrigiert.
Ich weiß, dass die Mathematik stimmt. Ich plane, diese Ableitung in meinem chem e zu verwenden. Klasse für Thermodynamik in zwei Wochen. Ich habe diese Ableitung selbst gemacht. Da ich diese Ableitung jedoch nirgendwo im Internet (einschließlich dieser Website) oder in Lehrbüchern gesehen habe, möchte ich wissen, warum. Habe ich es so aufgebaut, dass es gegen die Gesetze der Physik verstößt? Auch wenn jemand diese Ableitung irgendwo anders sieht, wäre das auch großartig. Es ist im Vergleich zu den anderen eine so einfache Ableitung, dass es einen Grund geben muss, warum dies nicht häufiger verwendet wird.
Ich verstehe diese Seite wirklich nicht. Der Grund für die Warteschleife ist, weil Sie vermuten, dass ich Hilfe bei einer Hausaufgabenfrage brauche??? Hier ist meine Website und der Stundenplan für den Thermodynamik-Kurs, den ich unterrichte.
Ich verstehe das Bewertungssystem hier einfach nicht. Typischerweise sollte es eine Art Peer-Review geben, in dem die Gutachter ihre Bedenken darlegen und es eine Art Widerlegung gibt. Wenn Sie Bedenken haben, senden Sie mir eine E-Mail an ted.yu@csulb.edu und lassen Sie uns das professionell klären. Dies ist das erste Mal, dass ich diese Seite benutze, und die Erfahrung war bisher nicht gut, abgesehen von der netten Antwort von David Z und Acid Jazz.
Ich stimme zu, dass dies keine Frage vom Typ "Bitte leiten Sie das für mich ab" ist, die wir als nicht zum Thema gehörend betrachten . es fragt stattdessen "Warum ist das nicht üblich", was es vom Thema abweicht, da es nach Meinungen zu etwas fragt.
Wenn Sie es noch nicht getan haben, werfen Sie einen Blick in das Hilfezentrum , da es das SE-Modell viel besser erklären kann, als ich es in einem Kommentarfeld mit ~500 Zeichen tun könnte.
Ted Yu – Ich habe für den Abschluss gestimmt (was zufällig der letzte war), weil es in der/den ursprünglichen Version(en) (bis Revision 6) einfach um eine Ableitung ging, was in diesem Fall eine Hausaufgabe ist -like, obwohl es sich nicht um ein echtes Hausaufgabenproblem handelt. Die aktuelle Version (Revision 7) macht deutlicher, dass es wirklich nur um das Konzept geht, also stimme ich für eine Wiedereröffnung.
Danke für die Stimme (oder Nichtstimme) des Vertrauens HDE. Ihre Nichtabstimmung öffnet diese Frage jedoch immer noch nicht.
Kyle: Die Frage ist nicht, warum das nicht üblich ist, sondern ist die Ableitung gültig? Die Annahme, die Menschen machen, ist, dass es richtig ist, nur weil die Antwort richtig ist. Eine einfachere Herleitung kann viel Vorlesungszeit sparen, sowie Zeit für die Studenten, ein Konzept zu begreifen. Aber ich achte darauf, keine einfache Ableitung einzuführen, wenn sie Fehler hat. Ich verstehe jetzt, warum dieses Board Probleme mit dieser Frage hat, weil die meisten aufgrund der richtigen Antwort davon ausgehen, dass die Ableitung korrekt ist. In gewisser Weise nehmen Sie Abkürzungen, ähnlich wie die Person, die hierher kommt, um kostenlose Antworten zu erhalten.

Antworten (1)

Probleme mit dieser Ableitung:

  • Ihnen fehlt der zusätzliche Begriff 5 2 k N , was wichtig sein kann, wenn Sie mit chemischen Potentialen arbeiten müssen.
  • Ihre Schüler werden nicht unbedingt wissen, warum sie den Raum in große Volumen unterteilen sollen λ 3 . Ausgehend von der Definition der Entropie und der Ableitung des thermischen Volumens λ 3 ist wichtig scheint vorzuziehen.
  • Ihre Schüler können davon profitieren, wenn sie wissen, dass es Halbfakultäten gibt N ! = ∫ 0 ∞ D X   X N   e − X , von dem sie ausgehen ( − 1 / 2 ) ! = π , und dass das Volumen einer N -Kugel mit Radius R Ist π N / 2   R N / ( N / 2 ) ! . Es dauert nur ungefähr fünfzehn Minuten oder weniger auf einer Tafel mit mathematischen Tricks, aber es kann helfen, einige spätere Berechnungen zu erleichtern, plus ein "Oh, so funktioniert das", das erklärt, warum Gaußsche Zahlen diese mysteriösen Faktoren haben π in ihnen.
  • Die Tatsache, dass die Quantenmechanik Teilchen sogar im Prinzip ununterscheidbar macht , ist enorm und löst das Gibbs-Paradoxon auf, was zur Sackur-Tetrode-Gleichung führt. Einem Schüler diese Tatsache und die Menge an Brain Warp, die dadurch entsteht, vorzuenthalten, ist nicht unbedingt eine schlechte Sache, aber es ist auch nicht unbedingt eine gute Sache. Dies ist eine Gelegenheit, eine Saat kognitiver Dissonanz zu pflanzen, die nur dann wirklich gelöst wird, wenn der Schüler die Quantenfeldtheorie lernt. Es ist vielleicht sogar das zentrale Problem bei teilchenzentrierten Weltverständnissen.
  • Wenn Sie statistische Mechanik unterrichten, beginnen Ihre Schüler gerade erst zu verstehen, was Temperatur wirklich ist. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es persönlich zu einem "tragenden Balken" ihres Verständnisses der statistischen Mechanik machen würde. Um Thermodynamik vor einem Kurs in statistischer Mechanik zu lernen, sicher, behandeln Sie die Temperatur einfach als eine phänomenologische Gegebenheit, wir können sie mit einem Thermometer messen, wen interessiert es, was es ist? Aber jetzt, da Sie in der Lage sind, darüber zu sprechen, wie β = ( k B T ) − 1 geht viel besser mit "negativen Temperaturen" um als T tut, ist alles, was der Student aus früheren Thermodynamik-Kursen weiß, schmerzlich unvollständig, und Sie sollten sich nicht zu sehr auf ein gutes Verständnis der Temperatur und der thermischen Wellenlänge verlassen.

Nach alledem: Ihr Ansatz ist sicherlich einfach und sauber und könnte eine gute heuristische Einführung in das Thema darstellen, wenn Sie der Sackur-Tetrode-Gleichung keine ganze Vorlesung widmen möchten.

Vielen Dank für Ihre Kommentare, und es ist großartig, Ihre Perspektive zu bekommen. Meine Studenten studieren Chemieingenieurwesen, und die größte Herausforderung besteht darin, ihnen dabei zu helfen, den 2. Hauptsatz zu verstehen und warum Wärme mit Entropie (oder Zufälligkeit) zusammenhängt. Ich werde das Konzept des Quantenvolumens verwenden, λ 3 dies zu beziehen. Das einzige Problem, das ich aus Ihrem Feedback sehe, ist, dass Sie Entropie benötigen, um das Quantenvolumen abzuleiten. Die thermische Wellenlänge kann abgeleitet werden durch Λ = H P , E k = P 2 2 M , E k = π k B T . Meinen Sie damit, dass für eine dieser Gleichungen S zur Ableitung erforderlich ist?
CR Drost: Ich habe über diesen Kommentar nachgedacht, den Sie gemacht haben: "Sie vermissen den zusätzlichen Begriff (5/2)kN, der von Bedeutung sein kann, wenn Sie mit chemischen Potentialen arbeiten müssen." Beziehen Sie sich auf die Tatsache, dass ich nicht die korrekte Definition des chemischen Potentials ableite, wenn ich den 5/2-Term für Entropie weglasse?
@TedYu Ich glaube schon. Sicherlich der Ausdruck μ = T ( ∂ S ∂ N ) E , v scheint entscheidend davon abzuhängen.
Das chemische Potential eines idealen einatomigen Gases sollte sein: μ = τ l N N N Q web.mit.edu/ndhillon/www/Teaching/Physics/bookse5.html Seltsamerweise erhalte ich dieses Ergebnis, wenn ich den 5/2-Term mit Ihrer obigen Definition des chemischen Potenzials weglasse. Deswegen irritiert mich dein Kommentar. Ich verstehe nicht, warum Sie den 5/2-Term benötigen, um das richtige chemische Potenzial zu erhalten.
Ich habe die Frage hier gestellt, wenn Sie interessiert sind: physical.stackexchange.com/questions/231080/…
@TedYu: Sie brauchen diesen Begriff, weil der Ausdruck, den Sie ableiten, ist k N ln ⁡ ( a U 3 / 2 v N − 5 / 2 ) und die Ableitung von N Protokoll ⁡ N Ist Protokoll ⁡ N + 1 , damit Sie wirklich bekommen k ln ⁡ ( a U 3 / 2 v ) + − 5 2 k ( ln ⁡ N + 1 ) , Das Extra − 5 / 2 k muss ausgeglichen werden durch a + 5 / 2 k um das gewünschte Ergebnis zu erzielen.
Ich hoffe, Sie haben Recht, aber ich komme immer noch nicht darüber hinweg, dass U unabhängig von N ist. Wenn U = 3 2 N k B T , würde es die gesamte N-Abhängigkeit innerhalb des Protokolls aufheben, wenn es konstant P ist. Aber ich denke, in diesem Fall ist es konstant E (oder U), also verstehe ich es. Bin aber immer noch über die andere Frage gestolpert.
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