Berechnung der Entropie für zwei ideale Gassysteme

Ich versuche zu zeigen, dass die Prozesse in den folgenden Zeilen unterschiedlich sind.

Entropie

In der linken Spalte befinden sich zwei Kästchen mit 12 Teilchen jeweils. Beide Boxen sind in drei gedachte und gleiche Räume mit unterteilt v 1 = v B 3 , Wo v B ist das Boxvolumen.

Beim Versuch in der ersten Reihe ist ein Kasten angebracht, über den sich die Partikel umverteilen. Dann trennen wir die Kisten. Die endgültige Teilchenzahl ist 6 in jedem im Durchschnitt .

Im Prozess der zweiten Reihe komplizieren wir die Dinge ein wenig:

  1. Ein leerer Raum mit v = v B 3 es ist angehängt,
  2. Dann trenne den Raum,
  3. Dieser Vorgang wird zweimal wiederholt.

Abschluss

Wenn man davon ausgeht, dass sich jedes Mal Partikel über die ganze Kiste verteilen, dann gehen beim zweiten Vorgang mehr Partikel verloren.

Warum?

Erste Hypothese: Wenn es sich um ein ideales Gas handelt, um zu berechnen, welcher Prozess „spontaner“ ist, benötigen wir diese Formel

S × D T = P × D v

Zweitens: Ich habe berechnet, dass der zweite Prozess eine höhere Entropie hat. Wir haben in jedem Fall die gleiche Temperatur, also ist dies der einzige Beitrag zur freien Energie von Gibbs.

Ist diese Überlegung richtig?

Antworten (1)

Lassen Sie uns Ihre beiden Prozesse als Prozess A und Prozess B bezeichnen.

Am Ende von Prozess B ist die freie Energie des Systems höher als am Ende von Prozess A. Was Sie sehen können, indem Sie alle Kästchen (am Ende von Prozess B) miteinander verbinden - die Anzahl der Teilchen stabilisiert sich bei 2 pro kleine Box (im Durchschnitt).

Mit der Formel können Sie die freien Energien berechnen G = U + P v − T S . Für dieses einfache Experiment gehen wir davon aus, dass alles bei konstanter Temperatur passiert. So U = N k B T , P v = N R T , Und S = N k S ln ⁡ v , Wo k S ist etwas konstant. Daher:

G = N k B T + N R T − N k S T ln ⁡ v = N T ( k B + R − k S ln ⁡ v )

Wenn man also dem Gas erlaubt, sich in ein größeres Volumen auszudehnen:

Δ G = − N T k S ln ⁡ v 2 v 1

Da wir von einer konstanten Temperatur ausgegangen sind, wählen Sie unsere Einheiten so aus T = 1 Und k S = 1 , daher:

Δ G = − N ln ⁡ v

Jetzt können wir die Änderung der freien Energie für jeden der Prozesse berechnen. Für Prozess A gehen wir aus v 1 Zu 2 v 1 , während die Anzahl der Teilchen 12 ist, also:

Δ G = − 12 2 v 1 v 1 ≊ − 8.31

Prozess B erfolgt in 3 Schritten. In Schritt 1 erhöhen wir die Lautstärke um 1 3 v 1 während N = 12 :

Δ G = − 12 ln ⁡ 4 v 1 3 v 1 = − 12 ln ⁡ 4 3

In Schritt 2 erhöhen wir das Volumen um den gleichen Betrag, während die Anzahl der Partikel steigt N = 9 (Da sich jetzt 3 Partikel in der entfernten Box befinden; beachten Sie das N ist die durchschnittliche Teilchenzahl):

Δ G = − 9 ln ⁡ 4 3

Und für Schritt 3, N = 6.75 :

Δ G = − 6.75 ln ⁡ 4 3

Wenn wir schließlich diese Beiträge summieren, sehen wir, dass die Gesamtänderung der freien Energie für Prozess B ist − 27.75 ln ⁡ 4 3 ≊ − 7,98 , was eine kleinere Änderung ist als in Prozess A.

Wir brauchen die Differentialform. Wenn sich das Gas ausdehnt, variiert der Druck, S = R T ln ⁡ v F v ich
Wir brauchen die Differentialform eigentlich nicht, aber Sie haben Recht, dass die Entropie proportional zu ist Protokoll ⁡ v , nicht v ; Ich habe die Antwort bearbeitet.
Oh, ich habe es verstanden! Die freie Gibbs-Energie ist kleiner, aber die Anzahl der Teilchen ist größer! Könnten Sie auf eine unendliche Anzahl kleiner Kästchen erweitern? :) haha ​​das ist sehr sehr nützlich in der Chemie.
Ja; bei unendlich vielen Kästchen konvergiert die Teilchenzahl gegen 0 und die freie Energie gegen einen endlichen Wert.
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