Die Entropie ist konstant. Wie kann man diese Gleichung in Bezug auf Druck und Dichte ausdrücken?

In der Hydrodynamik einer idealen, nicht kompressiven Strömung verwenden wir 5 Variablen: Druck P , Dichte ρ und Geschwindigkeitsfeld v . Wir brauchen also 5 Gleichungen. Landaus "Hydrodynamik" besagt, dass die Gleichungen lauten:

  1. Die Massenkontinuitätsgleichung ∂ ρ ∂ T + ∇ ( ρ v ) = 0

  2. Die Euler-Gleichung (3 Komponenten) ∂ v ∂ T + ( v ⋅ ∇ ) v = − 1 ρ ∇ P

  3. Eine Aussage darüber, dass keine Energie verschwendet wird D S D T = 0 ( S ist Entropie pro Masseneinheit)

Meine Frage: Wie kann man die letzte Gleichung in Bezug auf die tatsächlichen Variablen ausdrücken, die wir verwenden? Wir müssen irgendeine Form der Zustandsgleichung für das Fluid annehmen, um es richtig zu machen? Landau wirft in seiner typischen Manier einen Blick darüber und setzt das perfekte Verständnis der Leser für Thermodynamik voraus, was leider nicht mein Fall ist.

PS. Die Frage hat etwas mit einer allgemeineren zu tun, die ich gestern gepostet habe: Explizite Form der Entropieproduktion in der Hydrodynamik

Antworten (1)

Im Allgemeinen ist die fünfte Gleichung die Druckerhaltung:

∂ P ∂ T + v ⋅ ∇ P + γ P ∇ ⋅ v = 0
die, abhängig von Ihrem speziellen Unterfeld, normalerweise in Bezug auf die Gesamtenergie geschrieben wird:
∂ E ∂ T + ∇ ⋅ [ ( E + P ) v ] = 0
Wo E = 1 2 ρ v 2 + P ( γ − 1 ) − 1 . Wenn Sie dies jedoch in Bezug auf die Entropie tun möchten und mit einem idealen Gas arbeiten , können wir eine Variable definieren
S ≡ P ρ − γ
als Maß für die Entropie (nicht die Entropie selbst, da ihr gewisse Konstanten fehlen, zB Wärmekapazität bei konstantem Volumen C v ). Dann können Sie die totale Ableitung verwenden, um sich zu entwickeln S :
D S D T = ∂ S ∂ T + v ⋅ ∇ S = 0

Der Zusammenhang zwischen diesem Entropiemaß, S , und die Entropiedichte, S , Ist

S = C v ln ⁡ ( S ) = C v ln ⁡ ( P ρ − γ ) = C P ln ⁡ ( P 1 / γ ρ − 1 )
wo wir verwendet haben γ = C P / C v zwischen den beiden letzteren Gleichheiten. Die obige Beziehung kann in Abschnitt 83 von Landaus Fluid Dynamics-Text gefunden werden.

Möchte der Downvoter erklären, was seiner Meinung nach an meiner Antwort falsch ist?
OK danke! Und wie kann man diese Druckerhaltungsgleichung erhalten (oder irgendwie rechtfertigen)?
Sie können mit Thermodynamik beginnen und sagen E ˙ = Q ˙ − W ˙ (Gesamtenergie = Wärmeübertragung - geleistete Arbeit), dann arbeiten Sie sich mit idealen Gasgesetzen vor und kommen Sie dazu.
Aber es ist wahrscheinlich einfacher, mit Belastungen und Belastungen zu beginnen und auf diese Weise die Energieeinsparung zu erhalten (z. B. so, wie diese Seite es macht).
Die Entropie ist konstant. Wie kann man diese Gleichung in Bezug auf Druck und Dichte ausdrücken?
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