Ich wollte nur eine konkretere Vorstellung davon geben, woher wir diese Gleichungen kennen, obwohl wir Schwierigkeiten haben, analytische Theoreme über sie zu beweisen.

Sachen, die sich im Raum bewegen

Betrachten Sie alle Dinge (wie in, jede konservierte Menge), die über den Raum verteilt sind. Wir wissen, dass wir dies mit einem zeitabhängigen Dichtefeld beschreiben können$\rho(x,y,z,t)$so dass jedes kleine Volumen$dV$hat einiges an Zeug$\rho~dV$an diesem Punkt. Wir wissen auch, dass dieses Zeug im Laufe der Zeit herumfließen könnte, und wir behandeln dies formal, indem wir sagen, dass wir den Fluss durch eine kleine flache Fläche wissen möchten$dA,$die sich an der orientiert$\hat n$Richtung: das heißt, die Oberfläche ist normal zu$\hat n$und "positiver" Fluss wird in der sein$+\hat n$Richtung. Zusammengenommen ist dies ein Vektor$d\mathbf A = \hat n~dA$und es gibt ein Vektorfeld$\mathbf J(x,y,z,t)$so dass die Menge an Material, die über eine Zeit durch diesen Bereich fließt$\delta t$ist$\delta t~d\mathbf A\cdot\mathbf J(x,y,z,t).$Mit$\rho$und$\mathbf J$wir wissen fast alles. Da das Zeug konserviert ist, können wir das in dieser Box von Band sagen$dV,$Wenn sich die Menge des Materials in der Kiste ändert, liegt es entweder daran, dass ein Nettofluss in die oder aus den Seiten der Kiste floss, also tun wir etwas$\iint d\mathbf A\cdot \mathbf J$was sich nach dem Satz von Gauß als gerecht herausstellt$dV~\nabla\cdot\mathbf J,$oder es kam von außerhalb des Systems, das wir studieren, also gibt es irgendeinen Begriff$dV~\Phi$. Gleichzusetzen mit der Änderung in der Box$dV~(\partial\rho/\partial t)$ergibt die einfache Anfangsgleichung

$${\partial \rho\over\partial t} = -\nabla\cdot \mathbf J + \Phi.$$ Jetzt, wo wir ein Strömungsfeld haben $\mathbf v(x,y,z,t)$Der vorherrschende Transportbegriff, der vorschreibt, wie eine Flüssigkeit fließt, ist, dass die Box stromabwärts fließt. $\mathbf J = \rho~\mathbf v + \mathbf j$für eine gewisse Abweichung $\mathbf j.$Normalerweise ergibt sich die Hauptabweichung dann aus dem Fickschen Gesetz , dass es eine Strömung gibt, die proportional zum Dichteunterschied zwischen benachbarten Punkten ist, $\mathbf j = -D~\nabla \rho,$aber es kann dort komplexere Begriffe geben; insbesondere werden wir hier Druck sehen.

Impulserhaltung

Der entscheidende Punkt hier ist das$p_x$, die Dynamik in der$x$-Richtung, ist ein Zeug. Es ist eine bekannte Erhaltungsgröße. Es wird als direktes Ergebnis von Newtons drittem Gesetz konserviert, das sich unter Emmy Noethers berühmtem Theorem als dasselbe herausstellt wie die Aussage, dass die Gesetze der Physik an der Position gleich sind$x$wie sie in Position sind$x+\delta x$, für eine passende Definition von "Gesetzen der Physik". Wir sind uns ziemlich sicher, und wir sind uns ziemlich sicher, dass der Impuls der Flüssigkeit selbst in der$x$-Richtung muss also auch erhalten bleiben, und das ist$\rho~v_x$wo ich die Definitionen ein wenig auf dich verschiebe:$\rho$bezieht sich jetzt auf das Massendichtefeld und$v_x$bezieht sich immer noch auf die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in der$x$-Richtung.

Nun ein Impulsfluss pro Zeiteinheit, was wir gesagt haben$\mathbf J\cdot d\mathbf A$ist, ist eine Kraft . Deswegen$\mathbf J$hat in diesem Zusammenhang natürlich die Form einer Kraft pro Flächeneinheit. Jetzt wissen wir, dass Newtons Ausdruck für viskose Kräfte tatsächlich zu schreiben war$F_x = \mu~A~v_x/y$wo ich eine Oberfläche einer Flüssigkeit mit Geschwindigkeit bewege$v_x$in senkrechtem Abstand$y$von einem Ort, an dem es still gehalten wird; es wird Sie überhaupt nicht überraschen zu sehen, dass dies dem Fickschen Gesetz sehr ähnlich ist und als gerecht geschrieben werden kann$\mathbf j_\text{viscosity} = -\mu~\nabla v_x.$Dazu müssen wir noch die Wirkung des Drucks hinzufügen, da eine Druckminderung auch eine Flüssigkeitsbewegung antreibt; das ist etwas schwieriger zu begründen, aber es nimmt die Form an, dass wir uns einen konstanten Fluss im vorstellen können$x$-Richtung von$p~\hat x$und dann würden Abweichungen in diesem Fluss die Impulsänderung pro Zeiteinheit erzeugen$-\partial p/\partial x$durch diesen Divergenzterm. (Das ist ein bisschen schlampig, um zu zeigen, dass wir über einen Stresstensor sprechen und ein Teil davon ist$p~\mathbf 1$, die Identitätsmatrix multipliziert mit dem Druck.) Die Kombination dieser beiden Komponenten von$\mathbf j$wir haben

$${\partial \over\partial t}(\rho~v_x) = -\nabla\cdot (\rho~v_x~\mathbf v - \mu \nabla (v_x)) - \frac{\partial p}{\partial x} + \Phi_x.$$ Der externe Beitrag $\Phi$kommt von Kräften, die von außen auf die Flüssigkeit einwirken, wie die Schwerkraft.

Bei den Navier-Stokes-Gleichungen hat sich der Millenium-Preis auf einen wesentlich einfacheren Fall beschränkt$\nabla\cdot\mathbf v = 0$und$\rho$und$\mu$konstant sind, was wir "inkompressiblen Fluss" nennen. Dies ist im Allgemeinen eine gültige Annahme, wenn Sie mit einer Flüssigkeit mit Geschwindigkeiten interagieren, die viel niedriger sind als die Schallgeschwindigkeit in dieser Flüssigkeit. dann bewegt sich die Flüssigkeit lieber von dir weg, als an irgendeiner Stelle zusammengedrückt zu werden. In diesem Fall können wir pendeln$\rho$aus allen räumlichen Ableitungen heraus und dann durch sie dividieren, sodass die einzige Auswirkung das Umschreiben ist$\nu=\mu/\rho$und$\lambda=p/\rho$und$a_x=\Phi_x/\rho$, wodurch die Masseneinheit aus der Gleichung eliminiert wird. Zum$v_x$Wir haben speziell

$${\partial v_x\over\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla v_x - \nu \nabla^2 v_x = - \frac{\partial \lambda}{\partial x} + a_x,$$ und dann können wir die obige Analyse auf die Richtungen erweitern $y,z$auch zu finden, $$\dot{\mathbf v} + (\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v - \nu \nabla^2 \mathbf v = - \nabla \lambda + \mathbf a.$$ Dies ist die Version der Navier-Stokes-Gleichungen, die im Millenium Prize niedergeschrieben ist; Wir haben eine sehr einfache Erklärung dafür: „Der Impulsfluss in einem kleinen Kasten, der stromabwärts in einer inkompressiblen homogenen Newtonschen Flüssigkeit fließt, ist vollständig auf die Ficksche Gesetzdiffusion des Impulses aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit zurückzuführen, plus einer Kraft aufgrund von Druckgradienten innerhalb der Flüssigkeit plus Kräfte, die von der Außenwelt auferlegt werden.“

Warum diese Gleichung?

Das Verständnis der Physik , wie wir zu dieser Gleichung gekommen sind, steht außer Frage. Was auf dem Spiel steht, ist die Mathematik dieser Gleichung, insbesondere dieser$(\mathbf v \cdot \nabla) \mathbf v$Begriff, der enthält$\mathbf v$zweimal und macht daraus eine nichtlineare partielle Differentialgleichung: bei zwei Strömungsfeldern$\mathbf v_{1,2}$die allgemeingültig sind$\alpha \mathbf v_1 + \beta \mathbf v_2$wird diese Gleichung nicht lösen und unser mächtigstes Werkzeug aus unserer Toolbox entfernen.

Nichtlinearität stellt sich im Allgemeinen als unglaublich schwer zu lösen heraus, und im Grunde vergibt das Clay Mathematics Institute den Millionen-Dollar-Preis an jeden, der die nichtlineare Differentialgleichungstheorie stark genug knackt, um eine der grundlegenderen mathematischen Fragen zu diesen Navier zu beantworten. Stokes-Gleichungen als "grundlegendstes Beispiel" für ihr neues theoretisches Toolkit.

Die Idee der Clay-Preise ist, dass es sich um spezifische Probleme handelt (was wichtig ist, um einen Preis für ihre Lösung zu vergeben!), aber dass sie anscheinend starke neue allgemeine Ideen erfordern , die es unserer Mathematik ermöglichen würden, an Orte vorzudringen, an denen sie historisch nicht möglich war gehen. Das sieht man zum Beispiel in$\text{P} = \text{NP}$, es ist eine sehr spezifische Frage, aber um sie zu beantworten, müssten wir anscheinend besser mit "hier ist eine Klassifizierung von Dingen, die Computer tun können, und hier sind einige Dinge, die ein Computer nicht effizient tun kann" umgehen können, die niemand hat bisher überzeugend präsentieren konnte. Eine neue Toolbox, die diese "dumme kleine" Frage lösen könnte, würde daher unsere Fähigkeit, an einer riesigen Klasse verwandter Probleme in der Berechnung zu arbeiten, grundlegend verbessern.

Wie @QMechanic in einem Kommentar erwähnte, sind die Navier-Stokes-Gleichungen gerecht$F = ma$, aber sie sehen viel gruseliger aus. Unter der Annahme einer inkompressiblen Flüssigkeit haben Sie:

$$\rho \frac{D u_i}{D t} = -\frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_b$$

wo$\rho$ist die Dichte (Masse pro Volumeneinheit),$D u_i /D t$ist die Beschleunigung (aus Gründen der Klarheit in der Lagrange-Form geschrieben und nicht in der Euler-Form),$\sigma$ist der Cauchy-Spannungstensor (im Allgemeinen erweitert, um den Druck aus der Spur herauszunehmen,$\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \tau_{ij}$wo jetzt$\tau_{ij}$ist der viskose Spannungstensor) und$f_b$ist die Körperkraft (Dinge wie Schwerkraft).

Alles auf der rechten Seite ist die Summe der Kräfte, und auf der linken Seite ist die Masse mal der Beschleunigung.

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind eine Kombination des 2. Newtonschen Bewegungsgesetzes (Differentialform) mit der 3D-Version des Newtonschen Viskositätsgesetzes (dh der mechanischen konstitutiven Gleichung für ein Newtonsches Fluid).

Was dir in der Schule in Physik beigebracht wurde, war richtig. Es gibt nicht viele analytische Lösungen für interessante praktische Probleme, und eine numerische Lösung (z. B. unter Verwendung von Computational Fluid Dynamics (CFD)) ist oft erforderlich. Aber sie sind sicherlich gut verstanden.

Um die Antwort von tpg124 zu ergänzen und die implizite Frage in Ihrem Statement zu beantworten:

Wie wurden die Gleichungen überhaupt entdeckt, wenn wir sie nicht lösen können?

Einfachheit und Klarheit der Bedeutung einer Gleichung und die Schwierigkeit, die Implikationen dieser Gleichung auszuarbeiten, sind zwei völlig verschiedene Dinge. Für die Navier-Stokes-Gleichung ist die Bedeutung glasklar (eine Aussage der Newtonschen Gesetze) und die Gleichungen könnten niedergeschrieben werden, sobald die mathematischen Werkzeuge dafür verfügbar wären. Die Schwierigkeit mit der Navier-Stokes-Gleichung wird deutlich, wenn wir die Lagrange-Form der Ableitung auf der linken Seite der Gleichung in der Antwort von tpg124 erweitern ; es enthält einen sogenannten Advektionsterm $(\vec{v}.\nabla)\vec{v}$das ist Teil der Berücksichtigung der Tatsache, dass sich die Feldkoordinaten der Materie, auf die die Newtonschen Gesetze angewendet werden, in den Feldkoordinaten bewegen. Es ist eine Gleichung über den Fluss eines Vektorfeldes. Dieser Advektionsterm ist eine quadratische Nichtlinearität und die Quelle all der Unstimmigkeiten, die beim Lösen der Gleichung auftreten.

Ein weiteres sehr ähnliches physikalisches Beispiel ist die Einstein-Feldgleichung in dem Sinne, dass sie eine einfache Bedeutung hat ( siehe meine Antwort hier ), aber die Bedeutung von Lösungen kann sehr subtil sein (was viel Übung mit dem Begriff des Allgemeinen erfordert Kovarianz) und ist schrecklich schwierig zu lösen, sowohl insofern, als es wenige exakte Lösungen gibt und numerische Lösungen erschreckend schlecht benommen werden können, bis ein großes Maß an numerischem Einfallsreichtum und rein theoretischer numerischer Analyse - weit über das bloße Wissen der Relativitätsphysik hinaus - dazu gebracht wird auf die Probleme eingehen. Diese einfach zu verstehende, aber schwer zu lösende Situation wird in diesem Fall auch durch eine Nichtlinearität hervorgerufen: den sogenannten Trace-Reversing-Term$-\frac{1}{2}\,R\,g$, wo$g$ist der metrische Tensor und$R$ein Skalar, der wie eine Doppelspur eines Kommutators (Lie-Klammer) von Ableitungen von ist$g$. Wir haben also auch hier eine quadratische Nichtlinearität. Diese Nichtlinearität wird durch die gleichzeitige geometrische (Bianchi-Identität) und Energie-Impuls-Erhaltungsbedeutung hervorgerufen, die in der in meiner anderen Antwort diskutierten Gleichung codiert ist . Die numerische Relativitätstheorie nahm erst in den 1980er Jahren – siebzig Jahre nachdem die Theorie postuliert worden war – wirklich Fahrt auf, als die notwendige Computerleistung online kam, damit die Menschen Fortschritte bei der harten Arbeit machen konnten, zu lernen, wie man die numerischen Probleme zähmt.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. Um die Bewegung einer an einer Feder befestigten eindimensionalen Masse zu beschreiben, betrachten Sie zunächst alle Kräfte. Die Kraft aufgrund der Feder ist$F_s=-kx$mit$k$die Federkonstante und$x$die Ausdehnung der Feder und die Kraft aufgrund von Reibung ist$F_f=-bv$mit b etwas konstantem und$v=\dot x$die Geschwindigkeit der Masse. Das Aufschreiben der endgültigen Gleichung ist einfach:

$$\begin{align}F_{total}&=ma\\ -bv-kx&=m \ddot x\\ m\ddot x+b\dot x+kx&=0 \end{align}$$ Die letzte Gleichung ist eine vollständige Beschreibung dieses Systems, genauso wie die Navier-Stokes-Gleichungen eine vollständige Beschreibung der Flüssigkeitsbewegung sind (natürlich für ideale Federn und Flüssigkeiten). Das Aufschreiben der Differentialgleichungen ist relativ einfach, aber wenn Sie eine explizite Funktion finden möchten $x(t)=\ ...\ $du müsstest noch viel arbeiten.