Fließe durch ein Loch in einer Kugel

Question

Fließe durch ein Loch in einer Kugel

Physik
Druck
Viskosität
Flüssigkeitsdynamik
Bernoulli-Gleichung

Thermodynamix

Ich habe eine Kugel mit Durchmesser $D$ (Radius $R$ ) mit einem kleinen Loch von Durchmesser $d$ (Radius $a$ ) darin, wobei Luft durch die Lochachse strömt:

Ich versuche, die Widerstandskraft aufgrund der Reibung im Loch abzuschätzen.

Betrachten wir zunächst vereinfachende Annahmen:

$d << D$
Die Druckverteilung um die Kugel herum wird durch das kleine Loch nicht beeinflusst.
$Re_D = \frac{\rho u_{\infty}D}{\mu} >> 1 \therefore$ reibungsfreie Strömung um die Kugel.
$Re_d\frac{d}{D} << 1 \therefore$ Trägheitsfreie Strömung im Loch über Navier-Stokes-Skalierung.

Die Annahmen 2 und 3 legen nahe, dass die Drücke an den Punkten 1 und 2 (in der Abbildung gezeigt) über einfache Stagnationsdrücke mit der Bernoulli-Gleichung geschätzt werden können:

P_{1} = P_{2} = P_{\infty} + \frac{1}{2} ρ u_{\infty}^{2}

$P_1 = P_2 = P_{\infty} + \frac{1}{2} \rho u_{\infty}^2$

Die Annahmen 1 und 4 legen nun nahe, dass die Strömung im Loch viskos dominiert ist, wodurch sich die Hagen-Poiseuille-Lösung für die Strömung durch ein Rohr ergibt:

v_{z} (R) = \frac{1}{4 μ} \frac{Δ P}{D} (A^{2} - R^{2})

$v_z(r) = \frac{1}{4\mu}\frac{\Delta P}{D}(a^2 - r^2)$

Daraus konnte ich leicht die Scherspannung im Loch und damit die Widerstandskraft im Loch berechnen.

Das Problem ist jedoch, dass meine Bernoulli-Analyse einen Druckabfall von Null ergibt:

Δ P = P_{1} - P_{2} = 0

$\Delta P = P_1 - P_2 = 0$

Dies scheint darauf hinzudeuten, dass es in einem reibungsfreien Regime keinen Fluss durch das kleine Loch gibt, wo $Re_D >> 1$ .

In diesem Fall habe ich im Loch keinen Reibungswiderstand, da ungefähr keine Strömung vorhanden ist.

Ist diese Analyse richtig? Würde es in diesem kleinen Loch ungefähr keine Strömung und daher keinen Reibungswiderstand geben, wenn die Kugel von einer großen Reynolds-Zahl umströmt wird?

Chet Miller

Selbst bei hohem Re denke ich immer noch, dass es einen signifikanten Druckunterschied zwischen 1 und 2 geben würde. Dies liegt an der Grenzbedingung ohne Schlupf auf der Kugel und der Trennzone, die sich an der Hinterkante der Kugel entwickelt. Schlagen Sie die Strömungsverteilung hinter einer festen Kugel nach, wenn Re zunimmt.

Chet Miller

ecourses.ou.edu/cgi-bin/…

Tief

Als grobe erste Näherung kann man meiner Meinung nach davon ausgehen, dass die Flüssigkeit hinter der Kugel (am hinteren Staupunkt) stationär ist (wegen Umwälzbereich dort), so dass die Druckdifferenz

p_{1} - p_{2} \sim 0.5 ρ u_{\infty}^{2}

$p_1-p_2\sim 0.5\rho u_\infty^2$ .

Thermodynamix

@ChesterMiller du hast recht, es gibt einen deutlichen Druckabfall. Meine rein harmlose Analyse ist falsch und mein Fehler sieht tatsächlich sehr nach D'Alemberts Paradoxon aus.

Thermodynamix

@Deep Das habe ich aus anderen Quellen gesehen. Ich habe versucht, das analytisch zu zeigen

Δ P \sim 0.5 ρ u_{\infty}^{2}

$\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ in meiner Antwort unten, obwohl ich nicht sicher bin, ob es ein richtiges Argument ist.

Antworten (1)

Fließe durch ein Loch in einer Kugel

Selbst bei hohem Re denke ich immer noch, dass es einen signifikanten Druckunterschied zwischen 1 und 2 geben würde. Dies liegt an der Grenzbedingung ohne Schlupf auf der Kugel und der Trennzone, die sich an der Hinterkante der Kugel entwickelt. Schlagen Sie die Strömungsverteilung hinter einer festen Kugel nach, wenn Re zunimmt.
Als grobe erste Näherung kann man meiner Meinung nach davon ausgehen, dass die Flüssigkeit hinter der Kugel (am hinteren Staupunkt) stationär ist (wegen Umwälzbereich dort), so dass die Druckdifferenz $p_1-p_2\sim 0.5\rho u_\infty^2$ .
@ChesterMiller du hast recht, es gibt einen deutlichen Druckabfall. Meine rein harmlose Analyse ist falsch und mein Fehler sieht tatsächlich sehr nach D'Alemberts Paradoxon aus.
@Deep Das habe ich aus anderen Quellen gesehen. Ich habe versucht, das analytisch zu zeigen $\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ in meiner Antwort unten, obwohl ich nicht sicher bin, ob es ein richtiges Argument ist.

Thermodynamix · Answer 1

Es sieht aus wie mein Problem von $\Delta P = 0$ ist ein Fall von D'Alemberts Paradox , bei dem eine rein reibungsfreie Strömung fälschlicherweise einen Druckabfall von Null um ein Objekt vorhersagt. Außerdem, wenn dies eine hohe Reynolds-Zahl ist, fließen $(Re_D >> 1 )$ , es ist höchstwahrscheinlich im turbulenten Regime, und Experimente haben das gezeigt $\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ , wie unten mit dem Druckkoeffizienten gezeigt $C_P$ .

Dieses Ergebnis wurde von Benutzer Deep in einem Kommentar zum OP vorgeschlagen. Hier werde ich versuchen, dieses Ergebnis analytisch zu argumentieren.

Meine Analyse für den Staudruck an Punkt 1 ist in Ordnung:

P_{1} = P_{\infty} + 0,5 ρ u_{\infty}^{2}

$P_1 = P_{\infty} + 0.5\rho u_{\infty}^2$

Jetzt können wir die Widerstandskraft und eine einfache Skalierung betrachten, um zu gelangen $P_2$ .

Für eine Sphäre in der Höhe $Re_D$ Regime, wir wissen, dass der Luftwiderstandsbeiwert $C_D = 0.4$ , somit ist die Widerstandskraft:

F_{D} = 0,4 (0,5 ρ u_{\infty}^{2}) π R^{2} = 0,628 ρ u_{\infty}^{2} R^{2}

$F_D = 0.4(0.5\rho u_{\infty}^2)\pi R^2 = 0.628\rho u_{\infty}^2R^2$

Und $F_D \sim R^2\Delta P$ , Deshalb:

Δ P = P_{1} - P_{2} \sim 0,628 ρ u_{\infty}^{2}

$\Delta P = P_1 - P_2 \sim 0.628\rho u_{\infty}^2$

Auflösen für $P_2$ ,

P_{2} \sim P_{1} - 0,628 ρ u_{\infty}^{2} = P_{\infty} - 0,128 ρ u_{\infty}^{2}

$P_2 \sim P_1 - 0.628\rho u_{\infty}^2 = P_{\infty} - 0.128\rho u_{\infty}^2$

wo wir das ignorieren können $0.128\rho u_{\infty}^2$ Begriff? Wenn wir es ignorieren, ist das Ergebnis:

P_{2} \sim P_{\infty}

$P_2 \sim P_{\infty}$

Das scheint irgendwie handgewellt zu sein, aber ich bin am nächsten gekommen, um mich mit analytischen Argumenten davon zu überzeugen $P_2 \sim P_{\infty}$ . Kennt jemand eine bessere Analyse?

Wenn die Reynolds-Zahl hoch genug wird, bekommen wir nur handwinkende Argumente. Bei Strömungen mit hohem Re ist der Luftwiderstand hauptsächlich auf den Druckabfall und nicht auf die Hautreibung zurückzuführen. Ihre Größenordnungsanalyse ist also gut genug.

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