Druck in der Nähe einer untergetauchten Öffnung?

Angenommen, ich verkorke eine leere Weinflasche, die in der gasförmigen Luft bei einem Druck von 1 Atmosphäre versiegelt ist. Dann tauche ich die Flasche in eine Flüssigkeitssäule, wie auf der linken Seite der Abbildung unten gezeigt. Der Druck am Punkt "p", bezeichnet als$p_1$, ist viel größer als der Druck in der Weinflasche; Die Weinflasche hält die Luft im Inneren bei 1 Atmosphäre Druck. (So$p_1>>p_2$). Der Punkt "p" ist ein "kleiner" Abstand$(\Delta x)$weg von der Flaschenöffnung/Korken. Die Flaschenöffnung ist kreisförmig mit einem Radius$r_d$. Wenn ich in der Lage wäre, den Korken sofort zu entfernen$t_o$,

1. Wie würde sich der Druck am Punkt p mit der Zeit ändern, bis das System im Gleichgewicht ist (at$t_f$)?

2. Wie würde man den sich entwickelnden Druck am Punkt p als Funktion der Zeit abschätzen? (vom einfachsten Modell bis hin zu anspruchsvolleren Modellen)

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Zunächst denke ich, dass das Problem unter Verwendung einer Form der Energie- (oder mechanischen) Gleichgewichtsgleichung (wobei die Flüssigkeit der Flüssigkeitssäule als inkompressibel, leicht komprimierbar oder komprimierbar angesehen werden kann), einer Form einer Düsen- oder Öffnungsgleichung und des Ideals analysiert werden kann oder Realgasrecht.

Derzeit stelle ich mir den Druck am Punkt „p“ vor, wie im Bild unten gezeigt zu reagieren:

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Ich habe einen Versuch unternommen, der auf der Antwort von @ ChesterMiller basiert, aber einen etwas einfacheren Ansatz gewählt. Ich möchte beschreiben, was ich getan habe und meine Ergebnisse zeigen. Im Gegenzug möchte ich freundlich um Kritik bitten, was ich getan habe und wie ich das physikalische Modell verbessern kann.

Ich habe mir den physikalischen Aufbau des Systems neu vorgestellt, wie auf der linken Seite der Abbildung unten gezeigt. Auf der Abbildung sind die Eigenschaften der Flüssigkeitssäule und der Gasflasche vermerkt.

Der Druck gerade stromaufwärts der Öffnung, während die Dichtung intakt war, wurde berechnet als

$$\tag{1} p_2=p_3+\rho_2 g z_2$$

Die Masse und die Mole des in der Flasche eingeschlossenen Gases wurden unter Verwendung des idealen Gasgesetzes berechnet, wobei

$$\tag{2} pV=nRT$$ $$\tag{3} n=m/M_w$$

So$m=0.911$kg und$n=0.03253$kmol.

Die rechte Seite des Bildes unten zeigt, wie angenommen wurde, dass die Flüssigkeit in die Gasflasche eindringt und diese einnimmt. Es wurde angenommen, dass das Gas in der Flasche verbleibt (wie in der vorherigen Abbildung oben gezeigt) und komprimiert wird, wenn sich die Flasche mit der Flüssigkeit füllt. Es wird angenommen, dass die Höhe der Flüssigkeitssäule konstant bleibt und die Flüssigkeitsgeschwindigkeit am oberen Ende der Säule ($\vec v_3$) wird mit Null (0 m/s) angenommen.

Zu Beginn habe ich die Geschwindigkeit der Flüssigkeit berechnet, die in die Flasche eintritt, gerade als das Siegel gebrochen wird$t=0$S. Ich nahm den Druck direkt vor der Öffnung an,$p_2$, augenblicklich auf den atmosphärischen Gasdruck von 101,325 kPa abgefallen, was dem Druck gerade innerhalb der Flasche auf der anderen Seite der Öffnung entspricht. Die Geschwindigkeit der Flüssigkeit wurde mit der Bernoulli-Gleichung berechnet,

$$\tag{4} p_3+0.5\rho_3 \vec v_3^2+\rho_3gh_3=p_{2,new}+0.5\rho_2 \vec v_{2,new}^2+\rho_2gh_2$$

Der Volumenstrom wurde berechnet als

$$\tag{5} Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$$ Wo$A_{orifice}=\pi (0.1 m)^2 /4 = 0.007853.. m^2$

Ab diesem Zeitpunkt habe ich ein Zeitinkrement von gewählt$\Delta t = 0.07 s$(durch einige Versuche und Irrtümer) und dann iterativ diesen 7 Berechnungsschritten gefolgt:

1. Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen, das in die Flasche gelangt ist:$V_{l,enter}=Q*\Delta t$.

2. Berechnen Sie das neue komprimierte Gasvolumen:$V_{g,new}=V_{g,old}-V_{l,enter}$.

3. Berechnen Sie den neuen komprimierten Gasdruck:$p_{g,new}=\frac{nRT}{V_{g,new}}$.

4. Stellen Sie den Druck kurz vor der Blende ein,$p_2$, gleich dem neuen komprimierten Gasdruck.

5. Verwenden Sie die Bernoulli-Gleichung, um die neue Geschwindigkeit der eintretenden Flüssigkeit zu berechnen.$v_{2,new}$, bezogen auf den neuen Ausgangsdruck,$p_2$(oder$p_{g,new}$).

6. Berechnen Sie den neuen Volumenstrom:$Q=\vec v_{2,new}A_{orifice}$

7. Gehen Sie zurück zu Schritt 1.

   Nach diesem Verfahren stellte ich fest, dass sich der Druck direkt vor der Öffnung mit der Zeit entwickelt, wie im folgenden Diagramm gezeigt:

Wenn in den obigen Ausführungen irgendwelche fehlerhaften Schritte unternommen wurden, welche sind das? Wie kann ich dieses Modell verbessern?

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Ich habe mir eine konvergierende halbkugelförmige Strömung kurz vor der Öffnung vorgestellt, siehe Abbildung unten, und versucht, den Druck in der Flüssigkeitssäule zu berechnen, wenn die Gasflasche im Laufe der Zeit gefüllt wird.

Das verwendete Berechnungsverfahren war wie folgt:

1. Berechnen Sie die Öffnungsflüssigkeitsgeschwindigkeit bei t = 0 s unter Verwendung von Bernoulli (Gleichung (4)) unter der Annahme$p_2=p_g$in dem Moment, in dem das Siegel gebrochen wird.
2. Berechnen Sie die volumetrische Durchflussrate, die in die Gasflasche eintritt, unter Verwendung der Öffnungsflüssigkeitsgeschwindigkeit und der Öffnungsfläche (Gleichung (5)).
3. Berechnen Sie die Flüssigkeitsgeschwindigkeit in unterschiedlichen Entfernungen$R$über der Öffnung unter Verwendung von Bernoulli unter der Annahme einer konvergierenden halbkugelförmigen Strömung. Die Oberflächen der Halbkugeln wurden berechnet als $$\tag{6} A_{hemi}=2\pi R^2$$ und die Geschwindigkeiten bei jedem$R$berechnet wurden als$\vec v_R=Q/A_{hemi}$.
4. Berechnen Sie die Flüssigkeitsgeschwindigkeit am oberen Ende der Flüssigkeitssäule,$\vec v_{3,new}$, wobei eine lineare Strömung angenommen wird.
5. Berechnen Sie den Druck in unterschiedlichen Entfernungen$R$über der Öffnung unter Verwendung der Bernoulli-Gleichung und unter Verwendung der neu berechneten Variablen:$\vec v_{3,new}$Und$\vec v_R$, und die potentielle Energie bei$R$($=\rho g R$).
6. Legen Sie ein diskretisierendes Zeitinkrement fest$\Delta t$.
7. Berechnen Sie das Flüssigkeitsvolumen, das in die Gasflasche eingetreten ist.
8. Berechnen Sie das Volumen des neu komprimierten Gases.
9. Berechnen Sie den Druck des neu komprimierten Gases.
10. Stellen Sie den Druck an der Öffnung gleich dem Druck des neu komprimierten Gases ein.
11. Berechnen Sie unter Verwendung von Bernoulli die Flüssigkeitsgeschwindigkeit der neuen Öffnung unter Verwendung des Drucks des neu komprimierten Gases als Auslassdruck und schließen Sie die Flüssigkeitsgeschwindigkeit am oberen Ende der Flüssigkeitssäule ein. (Angenommen, der Druck am oberen Ende der Flüssigkeitssäule ist konstant).
12. Gehen Sie zurück zu Schritt 2.

Unten sind zwei grafische Darstellungen der Ausgabe der gerade beschriebenen Berechnungen. Das obere Diagramm zeigt den Druck, während das untere Diagramm die Flüssigkeitsgeschwindigkeit innerhalb des Systems als Funktion der Zeit zeigt.

Diese Diagramme/Berechnungen zeigen, dass der Druck einen Öffnungsdurchmesser (R = 0,10 m) über der Öffnung im Wesentlichen der Druck ist, den man für den statischen Zustand berechnen würde. Nur bei einem halben Öffnungsdurchmesser (R = 0,05 m) über der Öffnung tritt ein signifikanter Druckabfall auf.

Ich habe festgestellt, dass eine Änderung des Öffnungsdurchmessers nicht die Flüssigkeitsgeschwindigkeit ändert, sondern den Volumenstrom und damit die Zeit zum Befüllen der Gasflasche. Dieses Ergebnis war etwas überraschend, und ich frage mich, ob dies ein Artefakt auf einer oder mehreren der Annahmen ist, die ich bis zu diesem Punkt gemacht habe.

Auch hier möchte ich freundlich um Kritik bitten, was ich getan habe und wie ich das physikalische Modell verbessern kann.