Nicht-dimensionalisierende inkompressible Navier-Stokes

Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch eine triviale Umskalierung der Zeitkoordinate und sind daher äquivalent. Wenn$u(x,t)$ist dann eine Lösung der ersten Gleichung$u(x,{\it Re}\, t)$ist eine Lösung der zweiten. Re ist physikalisch relevant, weil es die relative Bedeutung der advektiven und dissipativen Terme bestimmt. Multiplizieren$\partial_t u$durch eine Konstante ist nur eine Neuskalierung und hat keine physikalische Bedeutung.

... Der Zweck der Nicht-Dimensionierung besteht darin, Lösungen auf eine Kurve zu "kollabieren", damit der Lösungsraum mit weniger Parametern untersucht werden kann.

Das ist ein „Zweck“ der Nichtdimensionalisierung; Zwei weitere sind in diesem Fall die Identifizierung der charakteristischen Längen-, Geschwindigkeits-, Druck- usw. Skalen und die Analyse der Gleichung unter verschiedenen Regimen$\mathrm{Re}\ll1$(viskositätsdominiert) und$\mathrm{Re}\gg1$(Konvektion dominiert).

Charakteristische Längenskalen sind die Skalen des Systems, die die Dynamik eindeutig so charakterisieren, dass alle Terme in den Gleichungen (einschließlich Anfangs-/Randbedingungen) enthalten sind$O(1)$oder kleiner. Sie haben eine Reihe von Skalen gewählt, mit denen Sie die Gleichung entdimensionalisieren, aber sind das charakteristische Skalen? Nun, lassen Sie es uns auf die Probe stellen.

Betrachten Sie zunächst das konvektiv dominierte Regime, für das Sie Folgendes bestimmen:

$$\partial_t u_i + u_j \partial_j u_i = -\partial_i p + \mathrm{Re}^{-1} \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \qquad \text{using convective time scale}$$

In diesem Regime$\mathrm{Re}\gg1$und unter der Annahme, dass die Skalierung korrekt durchgeführt wurde, dh alle nichtdimensionalen Variablen sind$O(1)$, dann sehen wir, dass alle Terme sind$O(1)$oder kleiner (seit$O(\mathrm{Re}^{-1})\ll O(1)$). Dies weist darauf hin, dass die Skalierung richtig durchgeführt wurde und dass die Skalen die charakteristischen Skalen in diesem Regime sind. Da der viskose Term im Vergleich zum konvektiven Term vernachlässigbar klein ist, dürfen wir ihn komplett vernachlässigen. Beachten Sie, dass der Druckterm von der gleichen Größenordnung ist wie der Konvektionsterm; der Druckgradient muss immer von derselben Größenordnung wie der dominante Term in der Gleichung sein, um die Terme auszugleichen.

Betrachten wir nun das viskose Regime wo$\mathrm{Re}\ll1$, finden Sie (nach Division durch$\mathrm{Re}^{-1}$):

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re} \partial_i p + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

Wir sehen hier, dass wieder alle Begriffe sind$O(1)$oder kleiner (seit$O(\mathrm{Re})\ll O(1)$). In diesem Regime können wir die konvektiven Terme vernachlässigen, da die viskosen Terme dominieren. Offensichtlich ist aber auch der Druckgradient vernachlässigbar, der eigentlich in der gleichen Größenordnung liegen sollte wie die viskosen Terme. Dies weist darauf hin, dass die vorgeschlagene Skalierung in diesem Regime nicht korrekt ist.

Um dieses Problem zu lösen, benötigen wir eine Neuskalierung der Druckskala. Lassen Sie uns neu skalieren$[p]^* = \mathrm{Re}^{\alpha}[p]$Wo$\alpha$ist eine zu bestimmende Konstante. Einsetzen in die Gleichungen ergibt:

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \mathrm{Re}^{1+\alpha} \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

Damit der Druckgradient von der gleichen Größenordnung wie die viskosen Terme ist, benötigen wir$1+\alpha=0$oder$\alpha=-1$. Wir erhalten dann:

$$\partial_t u_i + \mathrm{Re} u_j \partial_j u_i = - \partial_i p^* + \partial_{jj} u_i, \qquad \qquad \text{using diffusive time scale}$$

und die Druckskala wurde neu skaliert$[p]^* = \mathrm{Re}^{-1}[p] = \frac{\mu U}{L}$was eindeutig eine viskose Druckskala ist, wie aus der Anwesenheit der Viskosität hervorgeht$\mu$. Dies steht im Gegensatz zur ursprünglichen Druckskala$[p] = \rho U^2$die eindeutig keine Viskosität enthält und nur im konvektiven Bereich geeignet war$\mathrm{Re}\gg1$. Wir können daher von einer konvektiven Druckskala sprechen.

Zum Abschluss mit der Beantwortung Ihrer Fragen:

1. Da die Gleichungen nur für zwei verschiedene Regime gültig sind, die durch Ihre Wahl der Skalen festgelegt werden,$\mathrm{Re}\ll1$Und$\mathrm{Re}\gg1$.
2. Die einzige 'verwandte' Lösung wird gefunden für$\mathrm{Re}=1$, sonst werden die Lösungen völlig unterschiedlich sein. Tatsächlich sind analytische Lösungen in der Regel nur für möglich$\mathrm{Re}\ll1$weil die Gleichungen linear werden. Für$\mathrm{Re}\gg1$, sind die Gleichungen hochgradig nichtlinear, wodurch es nur numerisch möglich ist, Lösungen zu erhalten.
3. Nein, siehe Antwort zu 2.