Wie groß ist die Geschwindigkeit in der Navier-Stokes-Gleichung?

Ich habe mir die Navier-Stokes-Gleichung angesehen und kann anscheinend nirgendwo eine klare Beschreibung dafür finden, welche Geschwindigkeit sie darstellt.

Nach dem was ich gelesen habe könnte es folgendes sein:

  • Die „Strömungsgeschwindigkeit“.
  • Die Geschwindigkeit eines einzelnen Teilchens (ich halte das für sehr unwahrscheinlich).
  • Die mittlere Geschwindigkeit von Teilchen in der Nähe des Betrachtungspunkts.

Welche davon (falls vorhanden) ist richtig und warum? (Quelle wäre hilfreich)

Der v ist die Volumenströmungsgeschwindigkeit eines Fluidelements (dh eines "Kleckses" des gegebenen Fluids).
@honeste_vivere wäre das nicht dasselbe wie meine dritte Option?
Irgendwie, aber nicht wirklich ... Sie behandeln es als ein Ensemble flüssiger Elemente, nicht als einzelne Partikel (was eine kinetische Theorie wäre). Die Navier-Stokes-Gleichung ist eine flüssige Annäherung, die aus der kinetischen Theorie abgeleitet wird, indem räumliche Gesamtmittelwerte genommen werden. Es ist die Volumenströmungsgeschwindigkeit, die Sie finden, nachdem Sie die Gleichungen "verflüssigt" haben, wenn Sie so wollen. Hilft das?
@honeste_vivere Entschuldigung, können Sie bitte angeben, was Sie mit "Ensemble-Raumdurchschnitten" meinen. Ich weiß, was ein Ensemble-Mittelwert ist, aber was meinen Sie mit „räumlich“, was mitteln wir und über was (Raum?)?
Ein Ensemble-Durchschnitt erfordert eine Menge, die Sie angeben, über die gemittelt wird. Zum Beispiel kann man einen räumlichen (ja über den Raum) oder zeitlichen (dh ähnlich, aber nicht gleich wie ein zeitlicher Mittelwert) Ensembledurchschnitt durchführen. Es gibt auch Energie-Ensemble-Mittelwerte (z. B. bezogen auf die Zustandssumme in der statistischen Mechanik).

Antworten (2)

Sie haben Recht, es ist die Geschwindigkeit eines kleinen Flüssigkeitsvolumens, das an diesem Punkt zentriert ist, das ist eine makroskopische Bewegung, aber es ist auch das Ergebnis der Durchschnittsgeschwindigkeit der Teilchen in diesem Volumen.

Ein bisschen 1, ein bisschen 3 ...

Der technische Name ist Strömungsgeschwindigkeit , wie im Wikipedia-Artikel über NS-Gleichungen korrekt angegeben.

Aber man könnte fragen, was "Strömungsgeschwindigkeit" bedeutet. Aus dem Wikipedia-Artikel:

Strömungsgeschwindigkeit [...] ist ein Vektorfeld, das zur mathematischen Beschreibung der Bewegung eines Kontinuums verwendet wird.

Diese Definition ist zwar richtig, aber etwas unklar. Schauen wir also genauer hin.

Bei der Beschreibung der Bewegung einer Flüssigkeit haben wir theoretisch zwei Möglichkeiten: Die erste besteht darin, jedes einzelne Teilchen in der Flüssigkeit zu beschriften und die Newtonschen Gleichungen zu lösen

D 2 D T 2 X X N ( T ) = F F N ( T )         N = 1 , … , N

mit den Anfangsbedingungen

X X N ( T 0 ) = X X N , 0

Wo N ist die Anzahl der Teilchen in der Flüssigkeit. Wenn wir diese Gleichungen lösen könnten, könnten wir die Zeitentwicklung des Systems durch eine Reihe von Funktionen ausdrücken U U N gibt die Position des Teilchens an N zum Zeitpunkt T :

X X N ( T ) = U U N ( X X N , 0   , T )

Dieser Aussichtspunkt ist als Lagrange-Aussichtspunkt bekannt . Das Problem dieses Ansatzes ist, dass er, selbst wenn er theoretisch funktionieren könnte, völlig nutzlos ist, wenn wir wollen, dass unsere Theorie etwas voraussagend ist. Der Grund ist, dass wir natürlich die mikroskopischen Anfangsbedingungen unseres Systems nicht kennen, geschweige denn die Newtonschen Gleichungen lösen können.

Wir wählen daher einen anderen Ansatz, der als Eulerscher Standpunkt bekannt ist . Wir wählen einen Punkt X X im Raum und messen Sie die Geschwindigkeit der Flüssigkeit um diesen Punkt herum (in einem kleinen Kontrollvolumen ). In der Praxis würden wir ein ganz kleines Schaufelrad nehmen und hineinstecken X X , dann messen Sie die Geschwindigkeit seiner Rotation, um die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in diesem Raumpunkt abzuleiten.

Wenn wir unendlich viele unendlich kleine Schaufelräder nehmen, erhalten wir ein Vektorfeld für die Geschwindigkeit, das uns die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in jedem Raumpunkt angibt:

u u ( X X , T )

Dies nennen wir "Strömungsgeschwindigkeit" und erscheint in den NS-Gleichungen.

Die beiden Standpunkte werden durch den folgenden Ausdruck in Beziehung gesetzt :

u u ( U U ( X X 0 , T ) , T ) = ∂ U U ∂ T ( X X 0 , T )

denn es ist ersichtlich, dass beide Seiten die Geschwindigkeit des beschrifteten Pakets beschreiben X X 0 zum Zeitpunkt T .

Wie groß ist die Geschwindigkeit in der Navier-Stokes-Gleichung?
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