Flüssigkeitsfluss zwischen Ästen

Honig sickert durch Rohre

Die folgende Lösung gilt für eine sehr viskose Flüssigkeit mit vernachlässigbarer Trägheit und hoher Viskosität. Für Wasser in echten Rohren ist es falsch, weil es den Druckabfall vernachlässigt, der mit der sich ändernden Geschwindigkeit des Wassers einhergeht. Dieser Term ist von höherer Ordnung in v, aber er ist offensichtlich relevant für echte Wasserpfeifer. Ich lasse es, weil es eine interessante Übung mit einer direkten Analogie zum ohmschen Stromfluss ist, die richtige Lösung steht am Ende.

Beachten Sie dazu, dass der Druck am Divergenzpunkt für alle 4 Rohre gleich ist und dass es ein bestimmtes Gesetz für den Druckabfall entlang eines Rohrs pro Längeneinheit bei einer bestimmten Durchflussrate gibt. Die Antwort ist unterschiedlich, je nachdem, ob Sie einen festen Druck haben, der das Wasser durch die Rohre drückt (wie in einem Wasserleitungssystem), oder ob Sie, wie Sie vorschlagen, eine bestimmte Wassermenge pro Zeiteinheit durchdrücken und welche geeignet, wenn Sie entlang eines sehr langen Rohrs einen großen Druckabfall haben, bevor Sie zu Ihrem Verteiler gelangen.

Ich gehe davon aus, dass die 4 Rohre eine bestimmte Länge haben und dass sie sich bei atmosphärischem Druck entleeren, den ich als 0 bezeichnen werde, und dass der Wasserfluss ausreicht, um die Rohre bis in die Nähe des Austrittspunkts gefüllt zu halten, andernfalls erfordert das Problem mehr Information. Betrachten Sie zuerst das Problem der festen Durchflussrate. Wenn die auferlegte Durchflussrate F Wassereinheiten pro Sekunde beträgt, ist die erste Gleichung die Massenerhaltungsgleichung

$$\sum_i f_i = F$$

Wo$f_i$sind die Strömungsgeschwindigkeiten entlang der Rohre. Phill.Zitt gab diese Formel an, aber sie reicht nicht aus – sie ist analog zum aktuellen Kirchhoff-Gesetz. Sie benötigen auch das Analogon des Spannungs-Kirchhoff-Gesetzes.

Das Spannungsgesetz sagt Ihnen, dass die Durchflussrate$f_i$ist proportional zum Druckabfall entlang der Leitung i. Ich nenne die Proportionalitätskonstante den "Durchflussleitwert".$C_i$(es ist das Analogon des Kehrwerts des Widerstands in einem Stromkreis):

$$f_i = C_i \Delta P$$

Für die vier Rohre$\Delta P$gleich ist, so dass

$$f_i \propto C_i$$

und zusammen mit der Summenregel finden Sie:

$$f_i = {C_i f \over \sum_i C_i }$$

Das Einzige, was Sie also wissen müssen, sind die$C_i$, genau wie in einem Widerstandsnetzwerk.

Zwei Rohre mit Strömungsleitwerten$C_1,C_2$in Reihe geschaltet haben einen Strömungsleitwert C, der durch die Formel gegeben ist:

$${1\over C} = {1\over C_1} + {1\over C_2}$$

Für die gleichen zwei Rohre parallel,

$$C = C_1 + C_2$$

Damit addieren sich Leitwerte in Reihe und parallel, genau wie der Kehrwert des Widerstands (der elektrische Leitwert) in Schaltkreisen. Sie haben ein Problem mit 4 parallelen Widerständen, die mit einem Eingangswiderstand in Reihe geschaltet sind, genau wie ein Widerstand, der mit 4 parallel geschalteten Widerständen verbunden ist.

Für ein zylindrisches Rohr der Länge L und des Radius R ist das laminare Strömungsprofil genau parabelförmig in der radialen Zylinderkoordinate r:

$$v(r) = V(1 - {r^2\over R^2})$$

so dass der Gesamtdurchfluss eine Funktion von R ist

$$f(R) = \int_0^R v(r) 2\pi r dr = {\pi V R^2\over 2}$$

Die Navier-Stokes-Gleichungen reduzieren sich im Fall der laminaren Rohrströmung auf etwas sehr Einfaches - alle Terme fallen weg, mit Ausnahme des Viskositätsterms, der Ihnen die Diffusion des Impulses aus dem Rohr und damit den Druckabfall pro Längeneinheit angibt. (siehe hier: Gibt es eine analytische Lösung für Flüssigkeitsströmung in einem quadratischen Kanal? )

Die Gleichung ist

$$\nu \nabla^2 v = \delta P$$

so dass

$$2\nu {V\over R^2} = {\Delta P \over L}$$

Dadurch erhält man den Durchfluss als Funktion von R und L,

$$f = {\pi V R^2 \over 4} = {\pi R^4\over 8\nu L} \Delta P$$

damit der Leitwert ist

$$C(R,L) = {\pi R^4 \over 8 \nu L}$$

Und dies bestimmt den Durchfluss durch das i-te Rohr in Bezug auf den Gesamtdurchfluss und die Geometrie:

$$f_i = {f {R_i^4\over L_i} \over \sum_k {R_k^4\over L_k}}$$

Damit ist das Problem der konstanten Durchflussmenge rein geometrisch gelöst.

Die Grenze des konstanten Durchflusses wird erreicht, wenn eine lange Leitung mit einem viel größeren Druckabfall als dem Druckabfall nach der Teilung in das Ganze mündet. Der Gesamtdurchfluss wird durch den Gesamtleitwert bestimmt, der im Wesentlichen gleich dem Leitwert des langen Rohrs ist, also egal, was Sie am Ende anbringen, solange der Teil am Ende viel mehr Leitwert hat als das Anfangsrohr.

Das gleiche Problem kann bei einem festen Druck am Divergenzpunkt gelöst werden, der ausgehende Fluss ist nur die Leitfähigkeit mal dem gemeinsamen Druck. Bei Frage 2 ist die Frage nach konstantem Druck oder konstanter Durchflussmenge wesentlich. Wenn Sie das Gerät bei konstantem Druck an der Seite einer breiten Wasserleitung mit hohem Druck befestigen, wirkt sich das Schließen eines Rohrs nicht auf den Durchfluss in den anderen Rohren aus. Bei konstantem Durchfluss erhöht das Schließen von Rohr Nummer 4 den Durchfluss durch die anderen 3 um den Faktor

$$C_1 + C_2 + C_3 + C_4 \over C_1 + C_2 + C_3$$

Für nicht starre Rohre müssen Sie nur das R als Funktion des Drucks kennen. Dies ist eine gute Annäherung, wenn die Druckabfälle im Rohr wie üblich langsam sind, sodass sich der Radius langsam mit der Länge ändert. Bei normalen Rohren ändert sich der Radius kaum mit dem Druck, also habe ich mir nicht die Mühe gemacht, etwas zu berechnen, aber Sie können das Rohr in Scheiben mit einem Radius R (P) aufteilen, was einen Leitwert ergibt, den Sie nach der Reihenregel addieren.

Wasser in Rohren

Ich gehe davon aus, dass die Strömung in den Rohren laminar ist, die Rohre jedoch kurz sind, sodass der Druckabfall aufgrund der Viskosität zwischen den beiden Enden vernachlässigbar ist. Dies ist die korrekte Grenze für Wasserleitungen. Der Druck wirkt auf das Wasser, das in den Rohren nicht wesentlich abgeführt wird, und kommt als kinetische Energie im Wasser heraus, nicht als Wärme im Rohr.

Bei einem Druckabfall von P auf Atmosphärendruck 0 passt das Wasser in jedem der vier Rohre seine Geschwindigkeit so an, dass das Bernoulli-Prinzip eingehalten wird – die vom Druck geleistete Arbeit ist die vom Wasser gewonnene Energie. Der Energiefluss in einem Rohrquerschnitt ist:

$$\int {\rho v(r)^2\over 2}v(r) 2\pi r dr$$

mit dem laminaren Profil (die Strömung f ist wie zuvor), und dies ergibt

$$f {\rho V^2\over 4}$$

Wobei V wie zuvor die Geschwindigkeit in der Mitte ist. Die Arbeit, die durch die Druckdifferenz an den beiden Enden geleistet wird, ist$Pf$, sodass Sie eine Version der Bernoulli-Gleichung für laminare Rohre erhalten:

$$P + {\rho V^2\over 4} = {\rho V_0^2\over 2}$$

Die Geschwindigkeit in den Rohren sind dann

$$V= \sqrt{{4P\over \rho} + {V_0^2\over 2}}$$

und sie sind gleich. Damit ist die Durchflussrate in dieser Grenze (die richtige Grenze für Wasser) proportional zur Querschnittsfläche des Rohrs, also zu R^2. Wenn Sie einen festen Durchfluss haben, steigt der Druck bis zu dem Punkt, an dem der gesamte Abfluss gleich dem Zufluss ist, und der Wasserfluss wird entsprechend der Querschnittsfläche aufgeteilt:

$$f_i = {f R_i^2\over \sum_k R_k^2 }$$

Dabei wird die ankommende Geschwindigkeit vernachlässigt$V_0$, vorausgesetzt, das austretende Wasser ist deutlich schneller als das eintretende Wasser. Die Antwort für 2 und 3 ändert sich im Wasserfall im Vergleich zum Honig nicht.

1)

A ₁ gegen ₁ = A ₂ gegen ₂

Wobei A = Rohrquerschnitt, v = Strömungsgeschwindigkeit.

2)

Unter der Annahme, dass alle Rohre gleich groß sind, haben sie alle den gleichen Durchfluss gemäß der obigen Formel – teilen Sie die rechte Seite durch die Anzahl der gleich großen Rohre.

Sollten die Rohre nicht gleich groß sein, müssen Sie so etwas wie verwenden

A ₁ v ₁ = ( A ₂ v ₂ + A ₃ v ₃ + ... + A _x v _x )

Wobei A _2...x die Fläche der Rohre 2 bis X ist und v _2...x die Geschwindigkeit der Rohre 2 bis X ist.

3)

Ich weiß nicht. AFAIK, nein, starre v nicht starre Rohre haben keine Wirkung. In acht nehmen! Ich weiß nicht. GIYF!