Wie transformiere ich in einen relativistisch rotierenden Bezugsrahmen?

Ein rotierendes Bezugssystem lässt sich am besten durch einen einfachen Koordinatenwechsel beschreiben. Wenn Sie eine Beschreibung eines Phänomens in einem Satz von Trägheitskoordinaten haben$\{t, x, y, z \}$, dann können Sie eine Beschreibung seiner Bewegung in einem rotierenden Bezugssystem mit Koordinaten erhalten$\{t', x', y', z'\}$durch entsprechende Substitution. Zum Beispiel, wenn$\vec{\omega} = \omega \hat{z}$, dann haben wir

$$\begin{align} t &= t' \\ x &= x' \cos \omega t' - y' \sin \omega t' \\ y &= x' \sin \omega t' + y' \cos \omega t' \\ z &= z' \end{align}$$

Der Unterschied besteht darin, dass die Metrik jetzt nicht mehr so ​​einfach ist. Wenn wir die Differentiale aller obigen Terme nehmen und sie in die Minkowski-Metrik einsetzen, erhalten wir

$$\begin{align} ds^2 &= - dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \\ &= -\left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right){dt'}^2 + 2 \omega (- y' dx' dt' + x' dy' dt') + {dx'}^2 + {dy'}^2 + {dz'}^2. \end{align}$$ Insbesondere bedeutet dies, dass die Flugbahn eines massiven Objekts diese Koordinaten leicht haben kann$|d\vec{x}/dt| > 1$; mit anderen Worten, seine Koordinatengeschwindigkeit ist größer als$c = 1$. Aber wenn Sie die vier Geschwindigkeiten berechnen$\eta^\mu$dieses Objekts immer noch ein zeitähnlicher Vektor (oder äquivalent$ds^2 < 0$für Punkte in der Nähe entlang seiner Weltlinie.)

Was das Vektortransformationsgesetz angeht, ist das etwas problematischer. Eines der Hauptprobleme bei der Ableitung des von Ihnen zitierten Ergebnisses besteht darin, dass die Ableitung im Trägheitsrahmen in Zeitableitungen der Koordinatenkomponenten des Vektors in Bezug auf einen Satz rotierender Basisvektoren und Ableitungen der rotierenden Basisvektoren aufgeteilt wird sich. Außerdem nehmen wir an, dass diese Basisvektoren räumlich und zeitlich konstant sind; mit anderen Worten, ein Einheitsvektor in der$x'$-Richtung am Punkt A ist die gleiche wie ein Einheitsvektor in der$x'$-Richtung an Punkt B. Sie können jedoch sehen, dass die Definition eines Satzes von Basisvektoren in einem rotierenden Referenzrahmen problematisch sein wird; ein Vektor, der in die zeigt$t'$-Richtung ändert sich von zeitartig zu raumartig, wenn wir die Grenze überschreiten$\omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) = 1$, also können wir das unmöglich zu einem konstanten Vektor machen.

Das soll nicht heißen, dass wir keine Teilchendynamik in einem rotierenden Bezugssystem durchführen können, selbst für relativistische Bewegungen. Der bessere Weg ist der Lagrange-Ansatz, bei dem ein Teilchen, das sich zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit bewegt, die Eigenzeit entlang seiner Flugbahn extremiert:

$$\tau = \int \sqrt{ - ds^2}.$$ Im rotierenden Referenzrahmen kann dies geschrieben werden als $$\tau = \int \sqrt{ \left(1 - \omega^2 ({x'}^2 + {y'}^2) \right) + 2 \omega (- y' \dot{x}' + x' \dot{y}') - (\dot{\vec{r}'})^2 } dt'$$ und wir können einen Satz von Euler-Lagrange-Gleichungen für finden$\vec{r}'(t')$die dieses Integral auf die übliche Weise extremisieren. Dies wäre der einfachste Weg, die Corioliskraft und die Zentrifugalkraft in einem relativistischen Kontext zu verallgemeinern.

Der beste Anfang ist, ein Physikbuch herauszuholen und sich die verschiedenen Ausdrücke für die Wellengleichung anzusehen. Die einfachste und grundlegendste für die Erfindung der speziellen Relativitätstheorie ist die Form ohne Koeffizienten für die Differentiale. Finden Sie nun die Wellengleichung ausgedrückt in Kugelkoordinaten. Wir haben Koeffizienten, die der Transformation entsprechen, die von der Koordinatentransformation benötigt wird. Erkenne, dass der „objektive Beobachter“ niemals stationär ist, sondern sich selbst entlang einer Zeitlinie bewegt. Aber jeder Beobachter hat seinen eigenen „Eigenzeit“-Referenzrahmen, den er als stationär betrachten kann, obwohl andere Beobachter es nicht so sehen.

Dies ist die Grundlage der Allgemeinen/Speziellen Relativitätstheorie und der Tensoranalyse. Zuerst muss die Größe in koordinatenfreier Form (Tensor) ausgedrückt und dann in einem Bezugsrahmen ausgewertet werden; typischerweise "in Ruhe". Dann wenden Sie Koordinatentransformationen an, um den Tensor in den gewünschten Referenzrahmen zu bringen. Die Komplikation entsteht, weil Sie normalerweise "Zeit" als Koordinate auf gleicher (mehr oder weniger) Basis mit den Raumkomponenten einbeziehen müssen. Nehmen Sie einen rotierenden umlaufenden Satelliten: Er hat mehrere Referenzrahmen; in Bezug auf geostationäre Koordinaten, in Bezug auf die innere Trägheitsrelation oder in Bezug auf die Sonne. Aber all dies kann mittels spezieller Relativitätstransformationen transformiert und berechnet werden, die aus räumlichen Variationen und Zeitvariationen bestehen.