Warum ist es unmöglich, die Uhren entlang eines Rings global auf einer gleichmäßig rotierenden Scheibe zu synchronisieren?

Question

Warum ist es unmöglich, die Uhren entlang eines Rings global auf einer gleichmäßig rotierenden Scheibe zu synchronisieren?

Amilton Moreira

Dank der Antwort von Eric David Kramer habe ich meine Frage bearbeitet.

Seien Lisa und Milhouse zwei relativ zueinander ruhende Beobachter auf einem gleichförmig rotierenden Bezugssystem mit Winkelgeschwindigkeit $\omega$ . Nehmen wir an, sie wollen ihre Uhren nach den Prinzipien der Einstein-Synchronisation synchronisieren, also durch den Austausch von Lichtsignalen. Lisa, Punkt $A$ , bemerkt, dass ihre Uhr registriert $t_{A}$ , feuert einen Laserstrahl auf Milhouse, ihren "Nachbarn" von nebenan, entgegen dem Uhrzeigersinn, der am Punkt stationiert ist $B$ . Bei $t_{B}$ , er empfängt und reflektiert den Strahl zu ihr zurück; Sie empfängt das Signal an $t_{A}^{\prime} .$ Lisa schickt Milhouse einen Zettel, auf dem der Wert von steht $\left(t_{A}^{\prime}+t_{A}\right) / 2$ , mit Anweisungen, dass seine Uhr diesen Wert hätte haben sollen $t_{B}$ . Milhouse stellt seine Uhr entsprechend ein. Dieses Verfahren wird von Beobachter zu Beobachter um den Ring herum befolgt, und wir stellen uns die Grenze einer unendlichen Anzahl von Beobachtern mit unendlich kleinem Abstand vor.

Angenommen, wir haben einen Trägheitsbeobachter $I$ in der Mitte der Scheibe unter Verwendung von Zylinderkoordinaten $(t,r,\theta,z)$

Lassen Sie uns das Ereignis bezeichnen, durch das Liza Licht an Milhouse sendet $e_1$ , der Veranstaltungsempfang von Light by Milhouse by $e_2$ und der Veranstaltungsempfang von Licht durch Lisa $e_3$ . Wir bezeichnen ihre jeweiligen Koordinaten mit $x_1,x_2,x_3$

Angenommen, in der Scheibe befinden sich Milhouse und Liza im selben Radius $R$ und Milhouse wird um einen Winkel verschoben $\Delta \theta=\theta_0$ . Wenn $x_1=(0,R,0,0)$ das können wir zeigen

T_{2} = \frac{R}{C} \frac{θ_{0}}{1 + v / C} T_{3} = 2 \frac{R}{C} \frac{θ_{0}}{1 - v^{2} / C^{2}}

$t_2=\frac{R}{c} \frac{\theta_0}{1+v / c} \quad \quad t_{3}=2 \frac{R}{c} \frac{\theta_0}{1-v^{2} / c^{2}}$

Wo $v=\omega R$

Aufgrund der Zeitdilatation von Lisas Uhr in Bezug auf das Lab-System liest Lisas Uhr $\tau_{3}=t_{3} / \gamma$ bei Veranstaltung $e_3$ Wo $\gamma \equiv 1 / \sqrt{1-v^{2} / c^{2}}$ , oder $\tau_{3}=2(R / c) \gamma \omega_0$ . Nach dem Rezept für Einstein-Synchronisation, Milhouse at $\theta_0$ , erhält Anweisungen, ihre Uhr so einzustellen, dass sie die Uhreinstellung bei der Veranstaltung gelesen hat $e_2=\left(\tau_{3}+\tau_{1}\right) / 2=\tau_{3} / 2=(R / c) \gamma \theta_0$

Nun, wenn wir nehmen $\theta_0=2\pi$ Wir würden haben

\begin{matrix} (1) & τ_{3} / 2 = 2 π (R / C) γ \end{matrix}

$\tau_{3} / 2=2\pi(R / c) \gamma \tag 1$

Laut Milhouse-Ereignis $e_2$ geschieht zur rechten Zeit $\tau_2=2\pi(R / c) \gamma$ und laut Liza $\tau_2= \frac{R}{\gamma c} \frac{2\pi}{1+v / c}$

Wir haben also zwei synchronisierte Uhren, die dem gleichen Ereignis unterschiedliche Zeiten geben. Aus diesem Grund wird oft gesagt, dass es unmöglich ist, die Uhren entlang des Rings global zu synchronisieren.

Ich bin darüber verwirrt, denn da Liza und Milhouse am selben Ort sind, ist dies nicht ein koordinatives Problem, weil wir nämlich dasselbe Ereignis unterschiedlichen Werten zuschreiben $\theta_0=0$ Und $\theta_0=2\pi$ ?

Antworten (4)

Warum ist es unmöglich, die Uhren entlang eines Rings global auf einer gleichmäßig rotierenden Scheibe zu synchronisieren?

jawheele · Answer 1

Das Problem ist, wie Sie über die Einnahme nachdenken $\theta_0 = 2 \pi$ . Sie können dies nicht so tun, wie Sie es beschrieben haben - ich habe sie nicht selbst ausgearbeitet, aber ich erwarte die Formeln, die Sie auflisten $t_2$ Und $t_3$ annehmen $\theta_0$ ist sehr klein. Für einen General $\theta_0$ , einige trigonometrische Funktionen, die an der Berechnung der Entfernung beteiligt sind, die das Lichtsignal letztendlich zurücklegt (gemäß $I$ ) muss erscheinen. In der Tat, wenn Liza und Millhouse dadurch getrennt sind $\Delta \theta = \theta_0 = 2\pi$ , dann die Ereignisse $x_1, \, x_2, \, x_3$ sind alle gleich, so dass $t_1 = t_2 = t_3 = 0$ .

Ich nehme an, was Sie wirklich tun wollen, ist zu überlegen $n$ Beobachter $O_k$ verteilen Sie sie gleichmäßig um den Ring herum und lassen Sie sie das folgende Verfahren durchlaufen, um ihre Uhren zu synchronisieren: bei der Veranstaltung $x_1 = (0,R,0,0)$ , $O_1$ sendet ein Signal an $O_2$ , wer erhält es an $x_2$ und reflektiert es sofort zurück, während es gleichzeitig ein neues Signal an sendet $O_3$ , wer erhält es an $x_3$ und spiegelt das neue Signal wieder zurück $O_2$ während gleichzeitig noch ein weiteres Signal an gesendet wird $O_4$ , und so weiter bis zu $O_n$ , der ein Signal von erhält $O_{n-1}$ bei Veranstaltung $x_n$ und reflektieren Sie es sofort, während Sie ein Signal an senden $O_1$ , der bei einem Ereignis empfängt (und es zurückreflektiert). $x_{n+1}$ , schließt die Schleife.

Wir können uns dies als einen einzelnen Lichtstrahl vorstellen, der sich um den Umfang der Schleife krümmt und an den Positionen von einem Strahlteiler teilweise reflektiert wird $\theta_k = (k-1)\Delta \theta$ (Wo $\Delta \theta = 2 \pi/n$ ) jedes unserer Beobachter. Auf diese Weise haben wir $n+1$ Veranstaltungen $x_k$ an denen die Signale ausgesendet/reflektiert werden. Lassen Sie uns durch bezeichnen $\bar{x}_k$ (für $1 \leq k \leq n$ ) die Veranstaltung, bei der $O_k$ empfängt die Reflexion des Signals, an das sie gesendet haben $O_{k+1}$ bei Veranstaltung $x_k$ .

An der Grenze des Großen $n$ , können wir Ihre Formeln anwenden, um die zu finden $t$ Koordination all unserer Veranstaltungen:

T_{k} = \frac{R}{C} \frac{(k - 1) Δ θ}{1 + v / C} {\bar{T}}_{k} = T_{k} + 2 \frac{R}{C} \frac{Δ θ}{1 - v^{2} / C^{2}} .

$t_k = \frac{R}{c} \frac{(k-1) \Delta \theta}{1+v / c} \quad \quad \bar{t}_{k} = t_k + 2 \frac{R}{c} \frac{ \Delta \theta}{1-v^{2} / c^{2}}.$

Jetzt für $1 \leq k \leq n-1$ , Beobachter $O_k$ darauf hinweisen kann $O_{k+1}$ um ihre Uhr zu verschieben, um ein Ereignis zuzuweisen $x_{k+1}$ die synchronisierte Zeitkoordinate $s_{k+1}$ definiert von $s_1 = 0$ und die Wiederholungsrelation

S_{k + 1} = S_{k} + \frac{{\bar{T}}_{k} - T_{k}}{2 γ},

$s_{k+1} = s_k + \frac{\bar{t}_k-t_k}{2 \gamma},$

was natürlich nachgibt

S_{k} = \frac{R}{C} γ (k - 1) Δ θ = \frac{k - 1}{N} (\frac{R}{C} 2 π γ) .

$s_k = \frac{R}{c} \gamma (k-1) \Delta \theta = \frac{k-1}{n} \left( \frac{R}{c} 2 \pi \gamma \right).$

Das klappt soweit ganz gut, denn jeder unserer Beobachter hat seine Uhren so eingestellt, dass er sich mit seinem Nachbarn über die Empfangszeiten seines gemeinsamen Lichtsignals einig ist, und wenn Nachbarn später wieder Lichtsignale austauschen, werden sie diese finden sind noch synchronisiert. Jeder unserer Beobachter, außer zwei: Wir haben nicht überprüft, ob die Synchronisation mit dem Timing übereinstimmt $O_1$ Ereignis gibt $x_{n+1}$ Wenn $O_n$ Und $O_1$ versuchen zu synchronisieren.

Auf die gleiche Weise wie oben, $O_n$ befiehlt $O_1$ zuzuordnen $x_{n+1}$ die synchronisierte Zeit

S_{N + 1} = \frac{R}{C} 2 π γ .

$s_{n+1} = \frac{R}{c} 2 \pi \gamma.$ Aber

O_{1}

$O_1$ hat bereits ihre Uhr verschoben, damit sie zuordnen

s_{1} = 0

$s_1 = 0$ Zu

x_{1}

$x_1$ , und sie haben seitdem eine richtige Zeit gesehen

Δ τ = t_{n + 1} / γ

$\Delta \tau = t_{n+1}/\gamma$ vergehen, also ordnen sie diesen Forderungen zu

x_{n + 1}

$x_{n+1}$ eine Zeit

{\tilde{S}}_{N + 1} = S_{1} + Δ τ = \frac{T_{N + 1}}{γ} = \frac{R}{C} 2 π γ (1 - v / C),

$\tilde s_{n+1} = s_1 + \Delta \tau = \frac{t_{n+1}}{\gamma} = \frac{R}{c} 2 \pi \gamma (1-v/c),$ und das sehen wir

{\tilde{s}}_{n + 1} \neq s_{n + 1}

$\tilde s_{n+1} \neq s_{n+1}$ (Abweichung um den Faktor

1 - v / c

$1-v/c$ ), sodass die Synchronisierung nicht global konsistent gemacht werden kann.

Wie Sie in der Antwort gezeigt haben, können wir den Synchronisierungsprozess nicht global durchführen. Bis zu welchem Beobachter können wir synchronisieren?
@amiltonmoreira Wir können eine konsistent synchronisierte Zeitkoordinate haben, die überall entsprechend der Eigenzeit der relativ zum Ring ruhenden Beobachter auf dem gesamten Ring abzüglich eines einzelnen Punktes fortfährt. Solange zwei Beobachter ihre Synchronisation über Lichtsignale überprüfen, die diesen einzigen Punkt nicht kreuzen, werden sie feststellen, dass es konsistent ist. Eine solche Koordinate könnte aus der obigen Arbeit abgeleitet werden $S = \frac{T}{γ} + \frac{γ R θ}{C} .$ $s = \frac{t}{\gamma} +\frac{\gamma R \theta}{c}.$ Beachten Sie, dass die erzwungene Diskontinuität entsteht, wenn Sie einen Kreis über seine Winkelkoordinate beschreiben $\theta$ .
Es tut mir leid, ich habe keine (dies ist das erste Mal, dass ich über dieses Problem nachdenke), aber ich bin gerne bereit, meine Argumentation weiter zu diskutieren.
Man könnte synchronisieren, indem man einen Lichtimpuls in alle Richtungen von der Mitte des Rings nach außen sendet. Es erreicht alle Uhren auf einem Ring gleichzeitig. Oder gibt es auch bei dieser Methode Probleme?
@anoniem Es ist nicht so, dass es keine Möglichkeit gibt, die Uhren einzurichten - es gibt nur keine Möglichkeit, dass alle Uhren im Sinne der Einstein-Synchronisation übereinstimmen. Ihre Annäherung ist gleichbedeutend damit, dass jeder Beobachter am Ring seine Uhr einstellt $0$ bei demselben Hintergrund-Inertialsystem $t$ koordinieren, dh im Wesentlichen nehmen $s = \frac{t}{\gamma}$ . Daran ist per se nichts auszusetzen, aber sie werden nicht gegenseitig in dem Sinne synchronisiert, dass sie, wenn sie die Zeit des anderen durch das Senden von Lichtsignalen überprüfen, immer uneins über die Empfangszeit sind.
@anoniem Ein identisches Rätsel tritt auf, wenn sich zwei Beobachter relativ zu einem Trägheitsrahmen mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen. Man kann ihnen die zeitgedehnte Koordinate geben $s = \frac{t}{\gamma}$ durch den Austausch von Lichtsignalen mit einem ruhenden Beobachter, aber die beiden werden nicht miteinander synchronisiert. Die Lorentz-Transformation ist jedoch genau die Koordinatenanpassung, die sie gegenseitig synchronisiert. Die Schlussfolgerung aus diesem Problem ist, dass es keine Analogie zur Lorentz-Transformation gibt, die einen rotierenden Rahmen so synchronisieren kann, wie man einen sich linear bewegenden Rahmen synchronisieren kann.
@amiltonmoreira Sie sind wahrscheinlich schon weitergezogen, aber als ich dieses Problem erneut betrachtete, stellte ich fest, dass der Ausdruck für eine synchronisierte Zeitkoordinate, den ich in meinem vorherigen Kommentar angegeben hatte, nicht ganz richtig ist. Der richtige Ausdruck ist $S = \frac{T - \frac{R θ}{C + v}}{γ} + \frac{γ R θ}{C} = \frac{T}{γ} + γ \frac{v R θ}{C^{2}} .$ $s = \frac{t - \frac{R \theta}{c+v}}{\gamma} +\frac{ \gamma R \theta}{c} = \frac{t}{\gamma}+ \gamma \frac{v R \theta}{c^2}.$ Setzt man zugunsten von ein $\theta_\text{inertial} = \theta - \omega t$ , ist dies wie erwartet lokal äquivalent zur üblichen Lorentz-transformierten Zeit, kann aber nach wie vor nicht global definiert werden.
@jawheele Bedeutet das, dass jede Koordinatentransformation bestimmte Phasenverschiebungen zwischen Uhren impliziert ?
@jawheele "Wir können eine konsistent synchronisierte Zeitkoordinate haben, ..., auf dem gesamten Ring minus einem einzigen Punkt." Aber dieser einzelne Punkt ist willkürlich. Spielt das eine Rolle?
@anoniem Ich denke, ob es darauf ankommt, hängt davon ab, woran Sie interessiert sind. Obwohl die zugrunde liegende Mechanik sehr unterschiedlich ist, ist die Diskontinuität hier ziemlich ähnlich (wenn nicht völlig analog) zur internationalen Datumsgrenze: Nichts ändert sich dramatisch/physisch, wenn man überquert Der Punkt, und die Zeitanpassung ist leicht zu berücksichtigen, aber die Grenze muss irgendwo gezogen werden, und es ist wichtig, den Überblick zu behalten. Bezüglich der Koordinaten: Ich denke, der Kausalpfeil geht in die andere Richtung. Die Taktbahnen erzwingen die natürliche Koordinatenwahl, nicht umgekehrt.

Eric David Kramer · Answer 2

Ihr Ergebnis (1) impliziert, dass eine Uhr $2\pi$ Bogenmaß um die sich bewegende Scheibe liest eine andere Zeit als die Uhr bei 0 Bogenmaß. Aber 0 Radiant und $2\pi$ Radianten entsprechen dem gleichen Punkt. Das bedeutet, dass Sie zwei synchronisierte Uhren haben, die unterschiedliche Zeiten für dasselbe Ereignis anzeigen.

Die Synchronisation muss also irgendwo eine Diskontinuität haben, ähnlich wie bei der internationalen Datumsgrenze.

Was mich stört, ist, wenn wir den Beobachter geben $B$ die Koordinate $0$ die Schwierigkeiten würden verschwinden
Ja, wenn alle Ihre Uhren auf Null stehen, gibt es kein Problem. Wenn Sie jedoch eine ganze Reihe von Uhren auf der Festplatte platzieren, die nahe beieinander liegen und synchronisiert sind, unterscheidet sich die Uhr direkt vor der "Datumsgrenze" von der Uhr direkt nach der "Datumsgrenze" durch Ihre Gleichung (1).

Marco Ocram · Answer 3

Ich kann Ihrer Argumentation nicht folgen, daher kann ich nicht genau sagen, wo es zusammenbricht, aber ich werde einen allgemeinen Punkt wie folgt machen ...

Es ist immer möglich, jedes Paar benachbarter Uhren in SR zu synchronisieren, in dem Sinne, dass sie in dem Moment, in dem sie zusammen sind, die gleiche Zeit anzeigen. Es ist jedoch unmöglich, dass eine Reihe von Uhren, die sich jeweils relativ zueinander bewegen, gegenseitig synchronisiert werden.

Der Grund ist sehr einfach. Die Eigenschaft, synchronisiert zu sein, bedeutet, dass die Uhren die gleiche Zeit zum gleichen Zeitpunkt anzeigen, aber da sich die Uhren relativ zueinander bewegen, haben sie keine gemeinsame Vereinbarung darüber, was „denselben Zeitpunkt“ ausmacht.

Sie müssen auch bedenken, dass es nicht unbedingt die Realität widerspiegelt, wenn Uhrenpaare denselben Wert anzeigen. Stellen Sie sich einen langen Zug vor, der kurz vor Mittag mit hoher Geschwindigkeit einen langen Bahnsteig passiert. Entlang der Plattform gibt es synchronisierte Uhren. Die Passagiere werden aufgefordert, aus dem Fenster zu schauen und ihre Uhr mit der nächsten Bahnsteiguhr zu synchronisieren, wenn es Mittag zeigt. Pünktlich um 12.00 Uhr auf dem Bahnsteig zeigen alle Uhren im Zug Mittag an; Im Zug scheinen die Uhren jedoch nicht synchron zu sein, da die Mittagszeit im gesamten Zug ein anderes Stück Raumzeit darstellt als die Mittagszeit auf dem gesamten Bahnsteig. Die Tatsache, dass Sie die Uhren manipuliert haben, um etwas anderes zu suggerieren, ist irrelevant.

Sie könnten die folgende Analogie in Betracht ziehen. Angenommen, Sie haben eine Reihe von Beobachtern entlang einer ebenen Straße, die einige Meter voneinander entfernt sind und von denen jeder einen Höhenmesser hält. Jeder Beobachter wiederum stellt seinen Höhenmesser so ein, dass er denselben Messwert wie der nächste anzeigt, sodass alle synchronisiert sind und dieselbe Höhe anzeigen. Stellen Sie sich nun das gleiche Verfahren vor, wobei sich jeder Beobachter auf einem aufeinanderfolgenden Balkon eines Hochhauses befindet. Sie werden ihre Höhenmesser jetzt anscheinend so einstellen, dass sie die gleiche Höhe anzeigen, aber tatsächlich sind ihre Einstellungen jetzt nicht mehr synchron mit der Realität.

Ihr Verfahren zum Synchronisieren von Uhren in Kreisbewegung ähnelt dem Synchronisieren von Höhenmessern auf einem Riesenrad, bei dem jede Person ihren Höhenmesser so einstellt, dass sie mit dem angezeigten Wert auf dem Höhenmesser der nächsten Person um das Rad übereinstimmt.

Eine Gruppe von Beobachtern, die um den Umfang einer rotierenden Scheibe herum angeordnet sind, kann sich selbst relativ zu der Oberfläche der Scheibe, auf der sie sitzen, örtlich in Ruhe betrachten, aber sie sind nicht alle relativ zueinander in Ruhe. Diejenigen auf gegenüberliegenden Seiten der Scheibe bewegen sich zum Beispiel in entgegengesetzte Richtungen.
Aus dem gleichen Grund könnte ich argumentieren, dass zwei Beobachter, die sich bei 0,2 c voneinander entfernen, relativ zueinander in einem expandierenden Bezugssystem ruhen.

Pavlo. B. · Answer 4

Ich würde nicht sagen, dass es "unmöglich ist, Uhren global zu synchronisieren". Was im OP gezeigt wurde, ist, dass die spezifische Synchronisationsmethode, die für nicht rotierende Beobachter verwendet wird, für rotierende Beobachter nicht funktioniert. Mit einer kleinen Modifikation ist es möglich, alle Uhren auf dem Kreis zu synchronisieren, in dem Sinne, dass sie nach der Synchronisation alle die gleiche Zeit im nicht rotierenden Bezugssystem zeigen und synchronisiert bleiben (siehe Einstein-Synchronisation ) .

Damit die Uhren von Liza und Milhouse die gleiche Zeit anzeigen, muss Milhouse lediglich die Zeit für das Ereignis einstellen $e_2$ nicht $\frac{\tau_3}{2}$ , sondern eher $\frac{\tau_3}{2(1-v/c)}$ . In diesem Fall zeigen sowohl Lisas als auch Milhouses Uhren die gleiche Zeit im nicht rotierenden Referenzrahmen (was anhand der Gleichungen für verifiziert werden kann $t_2$ Und $t_3$ im OP). Das für alle Beobachter auf dem Kreis wiederholte Verfahren würde alle Uhren synchron laufen lassen.

Hinweis: Das beschriebene Synchronisationsverfahren ist konsistent, da es folgende Eigenschaften erfüllt (siehe Wiki zur Einstein-Synchronisation ):

(a) einmal synchronisierte Uhren bleiben synchronisiert,

(b1) die Synchronisation ist reflexiv, d.h. jede Uhr ist mit sich selbst synchronisiert (automatisch erfüllt),

(b2) die Synchronisation ist symmetrisch, das heißt, wenn Uhr A mit Uhr B synchronisiert ist, dann ist Uhr B mit Uhr A synchronisiert,

(b3) die Synchronisation ist transitiv, das heißt, wenn Uhr A mit Uhr B synchronisiert ist und Uhr B mit Uhr C synchronisiert ist, dann ist Uhr A mit Uhr C synchronisiert.

Warum ist es unmöglich, die Uhren entlang eines Rings global auf einer gleichmäßig rotierenden Scheibe zu synchronisieren?

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