Die Definition der Tangentenbasis verstehen

Die Basis, die Sie suchen, ist es nicht$({\partial P\over\partial r},{\partial P\over\partial \theta})$; es ist$({\partial\over\partial r},{\partial\over\partial\theta})$.

Tangentenvektoren geben Richtungen an, in die Sie Ableitungen nehmen können, sodass Sie einen Tangentenvektor mit dem Operator identifizieren können, der eine Ableitung in diese Richtung nimmt. Für den Tangentenvektor${\partial/\partial r}$, kann der Operator grob beschrieben werden als „nimm die Richtungsableitung in der$r$Richtung" oder etwas weniger grob als "nimm die Ableitung in der einen und einzigen Richtung, in der die Ableitung von$r$Ist$1$und die Ableitung von$\theta$Ist$0$". Ebenso (mit$r$Und$\theta$umgekehrt) für$\partial/\partial\theta$.

Wenn wir uns bewerben$\partial/\partial r$(oder$\partial /\partial\theta$) zu einer Funktion$f$, nennen wir das Ergebnis$\partial f/\partial r$(oder$\partial f/\partial\theta)$.

Das Obige ist die Hauptidee; Was folgt, ist ein wenig komplizierter und könnte mehr sein oder auch nicht, als Sie gerade wollen. Vielleicht möchten Sie zurückkommen und es von Zeit zu Zeit erneut lesen.

I. Ein Tangentenvektor$T$bei$P$ist (per Definition!) ein Operator, der nahe definierte differenzierbare Funktionen nimmt$P$und wandelt sie in Skalare um. Es müssen mehrere Bedingungen erfüllt sein:

Erstens sollte es linear sein, also$T(f+g)=Tf+Tg$Und$T(\alpha f)=\alpha Tf$(Wo$f$Und$g$sind alle Funktionen und$\alpha$irgendein Skalar ist).

Als nächstes, wenn$f$Und$g$vereinbaren in einer Nachbarschaft von$P$, Dann$T(f)$sollte gleich sein$T(g)$.

Als nächstes, wenn$f$ist dann eine konstante Funktion$T(f)$sollte null sein.

Als nächstes, wenn$f$ist ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, bei denen beide verschwinden$P$, Dann$T(f)$sollte null sein.

II. Beginnen Sie mit einem nahe definierten Koordinatensystem$P$--- sagen$(x,y)$. Dann kann man beweisen, dass es genau einen Tangentenvektor gibt$T$so dass$T(x)=1$Und$T(y)=0$. Wir nennen das Tangentenvektor${\partial\over\partial x}$. Ebenso gibt es nur einen Tangentenvektor$U$so dass$U(y)=1$Und$U(x)=0$. Wir nennen das Tangentenvektor${\partial\over\partial y}$.

Oder beginnen Sie mit einem anderen Koordinatensystem, z$(r,\theta)$. Suchen Sie nach dem einzigen Tangentenvektor, der dauert$r$Zu$1$Und$\theta$Zu$0$. Dieser Tangentenvektor wird aufgerufen$\partial\over\partial r$. Der einzige Tangentenvektor, der dauert$\theta$Zu$1$Und$r$Zu$0$wird genannt${\partial\over\partial \theta}$.

(Gefährliche Kurve: Die Koordinate$r$kann Teil von mehr als einem Koordinatensystem sein. Der Tangentenvektor$\partial/\partial r$wird unterschiedlich sein, je nachdem, mit welchem ​​Koordinatensystem Sie beginnen. Also, wenn Ihr Koordinatensystem ist$(r,\theta)$, Dann${\partial/\partial r}$ist ein Tangentenvektor, der dauert$\theta$bis Null; wenn Ihr Koordinatensystem ist$(r,y)$Dann${\partial/\partial r}$ist ein Tangentenvektor, der dauert$y$zu Null, und trotz des gleichen Namens sind dies nicht die gleichen Tangentenvektoren!)

Natürlich möchten Sie sich Tangentenvektoren wahrscheinlich geometrisch vorstellen, was in Ordnung ist, aber es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Ihrem geometrischen Bild eines Tangentenvektors und der algebraischen Definition eines Tangentenvektors als Operator --- und es zahlt sich aus zu lernen, zwischen den beiden hin und her zu gehen.

Koordinatensysteme haben nichts a priori . Sie haben keine physikalische Bedeutung und wurden von Menschen erfunden, nicht von der Natur.

Ich empfehle Ihnen, die Diskussion von Misner, Thorne und Wheeler in Gravitation darüber zu lesen, dass Koordinaten wie Telefonnummern sind, die einfach zugewiesen werden, um zu verfolgen, welche Ereignisse in der Raumzeit welchen anderen Ereignissen nahe sind. (Das war in den 1970er Jahren, als zwei Häuser mit numerisch ähnlichen Telefonnummern geographisch nahe beieinander lagen.)

Punkte und Vektoren können als grundlegende Objekte betrachtet und ohne Koordinatensystem bearbeitet werden. Man braucht nur ein Koordinatensystem, um Dinge zu messen . Dieser Ansatz konzentriert sich am häufigsten auf Vektoren und stellt Punkte als Verschiebungen ohne Verlust der Allgemeingültigkeit dar. Dementsprechend werde ich dasselbe tun und mich auf Vektoren konzentrieren.

Es gibt viele Eigenschaften von Vektoren, die eher geometrisch als mit Zahlen beschrieben werden können. Zum Beispiel das Skalarprodukt$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$definiert ist$|\mathbf{a}||\mathbf{b}|sin\theta$, wobei Theta der Winkel zwischen ihnen ist. Dies ist unter allen Koordinatensystemen, in denen Sie den Vektor messen könnten, unveränderlich. Sie können es sich gerne so vorstellen$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sqrt{(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_nb_n)}$, was in einem bestimmten Koordinatensystem sinnvoll ist, aber Sie müssen das Koordinatensystem nicht haben.

Eine Eigenschaft von Vektoren ist, dass in einem N-dimensionalen Raum N linear unabhängige Vektoren eine Basis bilden . Wenn Sie eine Grundlage haben,$\mathbf{b_1} \mathbf{b_2} \ldots \mathbf{b_n}$Sie können jeden beliebigen Vektor schreiben$v$als$c_1\mathbf{b_1} + c_2\mathbf{b_2} + \ldots + c_n\mathbf{b_n}$. Der Satz von$c$Werte, die sich daraus ergeben, ist unabhängig von einem beliebigen Koordinatensystem ( abhängig von den jeweils gewählten Basisvektoren).

Wo Koordinatensysteme ins Spiel kommen, ist, wenn man einen Vektor als schreiben möchte$<c_1, c_2, \ldots, c_n>$, und möchten die Vektoroperationen als algebraische Operationen an diesen Komponenten definieren. Der Unterschied zwischen diesem und dem obigen Basisbeispiel besteht darin, dass wir bei einem Koordinatensystem davon ausgehen, dass eine Basis wichtiger ist als andere, und beginnen, unsere Vektoren in Bezug auf diese Basis zu definieren. Das ist nur eine Wahl.

Auch ohne eine solche Grundlage gelten die Vektoridentitäten. In einem euklidischen Raum,$|\mathbf{b}-\mathbf{a}|+|\mathbf{c}-\mathbf{b}| \ge |\mathbf{c}-\mathbf{b}|$, unabhängig davon, ob Sie diese Vektoren durch ihre Koordinaten beschreiben oder nicht.

Dieses Denken erstreckt sich dann auf krummlinige Koordinatensysteme, die ausgefallenere Fälle wie Polarkoordinaten zulassen, bei denen die Basen nicht immer Vektoren, sondern Kurven sind. Dies erfordert eine ganze Menge zusätzlicher Komplexität (z. B. das Verständnis kovarianter und kontravarianter Basen), aber unabhängig davon funktioniert alles ohne Angabe eines Koordinatensystems!

Ich selbst bin auf diese Art von Spaß gestoßen, als ich Software für ein Frame-Konvertierungsprogramm geschrieben habe. Es ist sehr schwierig, eine Notation für einen Vektor zu entwickeln, die leicht von einem Computer verarbeitet werden kann und nicht auf einem Koordinatensystem beruht. Ich musste ein "Standard"-Koordinatensystem für jeden meiner Frames definieren (was zufällig ein normales kartesisches Koordinatensystem war) und angeben, dass alle Vektoren unter Verwendung dieses Koordinatensystems für Framing-Operationen in Komponenten gerendert wurden. Bei der Peer-Review war es sehr schwierig, die Leute dazu zu bringen, zwischen „ECEF“, einem Koordinatensystem, und „The Earth Fixed Frame“, einem Rahmen, zu unterscheiden. Die Verbindung zwischen ihnen war so eng, dass es schwer zu verstehen war, warum sie getrennt werden mussten.

Die Ableitung von$P$mag in der Art und Weise, wie Sie es dargestellt haben, verwirrend aussehen, aber in Wirklichkeit missverstehen Sie was$P$Ist. Ein Punkt kann durch beschrieben werden$(r,\theta)$, ebenso wie ein Punkt in kartesischen Koordinaten beschrieben werden kann als$(x,y)$aber beide beziehen sich nur auf den Punkt selbst, NICHT auf die Funktion, in der er enthalten ist.

Der Punkt ist keine Funktion und daher gibt es auch nicht$\frac{\partial P}{\partial r}$oder$\frac{\partial P}{\partial\theta}$.

Wenn Sie fragen, wie viel kostet der Punkt$P$ändern als$r$Änderungen$\frac{\partial P}{\partial r}$Die Antwort lautet: Nein, die Punkte ändern sich nicht.$\frac{\partial P}{\partial r} = 0$. Ähnlich$\frac{\partial P}{\partial\theta} = 0$.

Was Sie jedoch fragen können, ist, wie stark sich die x- und y-Komponenten des Punktes individuell in Bezug auf eine Änderung in ändern$\theta$oder$r$:

Wir können finden: ($\frac{\partial X}{\partial\theta}$,$\frac{\partial Y}{\partial\theta}$) , ($\frac{\partial X}{\partial r}$,$\frac{\partial Y}{\partial r}$)

Dazu müssen Sie Ihre X- und Y-Koordinaten eines Punktes als Funktionen von r &/or definieren$\theta$. Dies kann ziemlich einfach unter Verwendung der folgenden Definitionen durchgeführt werden

weil ($\theta$) =$\frac{x}{r}$

Sünde($\theta$) =$\frac{y}{r}$

r =$\sqrt{x^2 + y^2}$

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine einfache Polarfunktion:

$r = cos(\theta)$

eine Substitution zeigt

$\sqrt{x^2 + y^2}= cos(\theta)$

$x^2 = cos(\theta)^2 - y^2$

$x = \sqrt{cos(\theta)^2 - y^2}$

aber Sünde ($\theta$) =$\frac{y}{r}$So$y = rsin(\theta)$

*aber für dieses Problem haben wir r in Bezug auf Theta definiert, also$y = cos(\theta)sin(\theta)$

Mit einer weiteren Substitution können wir nun x nur durch r und definieren$\theta$

$x = \sqrt{cos(\theta)^2 - cos(\theta)sin(\theta)}$

Von hier aus könnte man nach lösen$\frac{\partial X}{\partial\theta}$, oder unter Verwendung unserer anfänglichen Polargleichung, die Sie in r umschreiben und auflösen könnten$\frac{\partial X}{\partial r}$

Die Konvertierung von polar zu kartesisch ist manchmal ziemlich nervig, aber es ist die einzige Möglichkeit, dies zu tun. Und wenn Sie herausfinden wollten, wie schnell sich der Punkt in Bezug auf die Verschiebung bewegte$\theta$Sie könnten eine pythagoreische Summe der partiellen Ableitungen X und Y erstellen. Das ist so nah wie du an ein "$\frac{\partial P}{\partial\theta}$“, gleiches gilt für$\frac{\partial P}{\partial r}$

$\frac{\partial P}{\partial\theta}$=$\sqrt{\frac{\partial X}{\partial\theta}^2+ \frac{\partial Y}{\partial\theta}^2}$