Wie werden räumliche Koordinatensysteme in der Physik definiert?

Grothendieck hat einmal gefragt: "Was ist ein Meter?" ( https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/letter_from_grothendieck.html ). Diese unschuldig klingende Frage brachte mich dazu, darüber nachzudenken, wie Koordinatensysteme in der Physik definiert sind.

Wie werden Koordinatensysteme in der Physik definiert, zum Beispiel in der speziellen Relativitätstheorie, wo das Koordinatensystem als gegeben vorausgesetzt wird.

Ich habe eine Möglichkeit ausprobiert und mich gefragt, ob es andere mathematische Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem zu definieren. (Vielen Dank für Ihre Hilfe):

Hier ist eine Möglichkeit

Zur Definition einer physikalisch affinen Basis$B = (v_1 = p_1-p_0, v_2 = p_2-p_0, v_3=p_3-p_0)$des räumlichen Raumes$\mathbb{R}^3$, muss es eine a priori definierte Basis geben$\hat{B}$, so dass$B$kann sich auf diese Grundlage berufen$\hat{B}$.

Beobachter$A$am Punkt$p=p_0$kann folgendes tun:

• Wählen Sie Punkte in der Nähe$p_1,p_2,p_3$im räumlichen Raum, ohne diesen Punkten tatsächlich a priori Koordinaten zu geben und "affine Vektoren" zu definieren: $$v_1 = p_1 p_0, v_2 = p_2 p_0, v_3 = p_3 p_0$$
• Für den Beobachter ist es möglich$A$um die Entfernung zwischen zwei (nahen) Punkten zu messen: $$d_{ij} = d(p_i,p_j), 0\le i,j \le 3$$
• Oberer$A$kann dann die Grammmatrix berechnen: $$G = (g_{ij}), g_{ij} = \frac{1}{2}(d_{0i}^2+d_{0j}^2-d_{ij}^2), 1\le i,j \le 3$$ wir nehmen nach dem Schönberg-Kriterium an, dass diese Matrix eine positiv definite Matrix und damit insbesondere eine Gram-Matrix ist.
• Beobachter$A$dann kann Cholesky-Zerlegung der Gram-Matrix tun: $$G = C C^T, C = (x_1,x_2,x_3)$$
• Beobachter$A$kann das Gram-Schmidt-Verfahren durchführen, um eine orthonormale Basis zu erhalten:$e_1,e_2,e_3$gegeben$x_1,x_2,x_3$.
• Daher ein nachträglicher Beobachter$A$kann die Punkte auswählen$p_i$Sodass $$G=\mathbf{1}$$ , seit$\left< e_i,e_j \right> = \delta_{ij},$Wo$\delta$ist der Kronecker$\delta$.

Beobachter$B$am Punkt$q$kann das gleiche Verfahren durchführen, um die orthonormale Basis zu erhalten$\mathbf{1} = G_q = C_q C_q^T$.

Durch die einheitliche Freiheit der Quadratwurzeln existiert eine orthogonale Matrix$O_{pq}$so dass$C_p O_{pq} = C_q$somit:

$$O_{pq}=C_q C_p^{-1} = C_q C_p^T$$

Aus dieser letzten Gleichung erhalten wir:

• $O_{pq}^T = O_{pq}^{-1} = C_p C_q^{-1}= O_{qp}$
• $O_{pp} = \mathbf{1}$
• $O_{pr} O_{rq} = O_{pq}$

Einstellung$w_{pq} := \log(O_{pq})$wir bekommen

• $w_{pq} = -w_{qp}$
• $w_{pp} = \mathbf{0}$
• $w_{pr} + w_{rq} = w_{pq}$

Daher könnte man die affinen Vektoren zwischen den Punkten definieren$p,q$als$w_{pq}$. Der Abstand zwischen$p,q$könnte gegeben werden als:

$$d(p,q) = |w_{pq}|_F = |\log(O_{pq})|_F = |\log(C_q C_p^T)|_F$$

Wo$|.|_F$bezeichnet die Frobenius-Norm.

Auch hier gefragt, falls es nicht für dieses Forum geeignet ist: https://mathoverflow.net/questions/409500/how-are-spatial-coordinate-systems-in-physics-defined