Wie verwandelt sich Zeittranslationssymmetrie in Evolution in der Zeit?

Das hat nichts mit Quantenmechanik zu tun. Genau die gleichen Dinge können in der klassischen Hamilton-Mechanik gesagt werden, wo der Hamilton-Operator der Generator der Zeitverschiebung im Sinne der Poisson-Klammer ist$\{H,A\}$(Quantenanalog: der Kommutator$[H,A]$) ist die infinitesimale Entwicklung von$A$und der Fluss des zugehörigen Hamiltonschen Vektorfeldes $X_H$(Quantenanalog: das Exponential$\mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}$) ist eine Übersetzung in endlicher Zeit. ¹

Diese Zeitübersetzung ist dasselbe wie die Zeitentwicklung eine Tautologie. Es gibt keinen Unterschied zwischen „Zeit vergeht von selbst“ und „ein Objekt bewegt sich in der Zeit“, zumindest nicht im Formalismus. Probieren Sie vielleicht die Analogie mit der Position aus, um zu sehen, dass es hier wirklich nichts zu diskutieren gibt. Du könntest sagen:

Aber es scheint mir, dass die$x$im räumlichen Übersetzungsoperator ist der Umfang der räumlichen Übersetzung, an der ich mich beteilige, und nicht die physische Entfernung, die ich zurücklege. Ich verstehe nicht, wie Ballentine von der Idee abweichen kann, dass die Symmetrie der Naturgesetze im Raum impliziert, dass eine räumliche Übersetzung beschrieben werden kann$T_x(x)=exp(ixp)$, auf die Idee, dass dieser Operator angewendet werden kann, um die Positionsänderung des Zustands im Raum zu beschreiben.

Macht für Sie insbesondere der erste Satz Sinn? Für mich sind "räumliche Übersetzung, an der ich mich beteilige" und "physische Entfernung, die ich zurücklege" nicht dasselbe, ebenso wie "zeitliche Übersetzung, an der ich mich beteilige" und "physische Zeit, die vergeht". Das Vergehen der Zeit ist dasselbe wie alle Objekte, die sich in der Zeit verschieben, eher durch die Definition dessen, was wir meinen, wenn wir sagen, dass die Zeit vergeht. Wenn die Entfernung an dir vorbeizieht, beschäftigst du dich mit räumlicher Übersetzung, wenn die Zeit an dir vorbeizieht, beschäftigst du dich mit Zeitübersetzung.

Lassen Sie mich abschließend eine weitere Verwirrung ansprechen, die durchzuscheinen scheint, wenn die Frage „Symmetrie“ erwähnt: Für diese Vorstellung von Operatoren, die Gruppen mit einem Parameter durch Potenzierung erzeugen, ist es völlig irrelevant, ob der Operator/die Gruppe eine Symmetrie ist oder nicht . Der Hamilton-Operator erzeugt eine Zeittranslation unabhängig davon, ob das System zeitsymmetrisch ist oder nicht. Der Impuls erzeugt eine räumliche Translation, unabhängig davon, ob das System Galileisch (oder Poincaré) invariant ist oder nicht. Es ist keine Symmetrie , die die Exponentialfunktion eines Operators impliziert$A$mit$[A,B] = \mathrm{i}\hbar$beschreibt Übersetzungen in$B$, aber reine Algebra, die sich nicht darum kümmert, ob$\exp(A)$oder$\exp(B)$sind Symmetrien von allem.

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¹ Nebenbei bemerkt, das Vektorfeld und die Exponentialfunktion sind nicht so unterschiedlich, wie man meinen könnte. In beiden Fällen gibt es eine Lie-Algebra – von Vektorfeldern klassisch und von hermitischen Operatoren quantenmechanisch – die eine Exponentialabbildung auf eine (möglicherweise unendlichdimensionale) Lie-Gruppe hat – die Gruppe der Diffeomorphismen (vielleicht Symplektomorphismen) klassisch und die Gruppe der unitären Operatoren quantitativ.

Ich lese auch Ballentine und hatte genau diese Frage. Ich habe ein Kopfgeld hinzugefügt, aber ich bin jetzt mit der folgenden Erklärung zufrieden. Wird das Kopfgeld gerne vergeben, wenn es jemand klarer erklärt!

Hier ist mein Verständnis der Logik, die verwendet wurde, um zu Gleichung 3.38 zu gelangen: Zeitabhängigkeiten des beobachtbaren Werts zu modellieren$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$, haben wir die Freiheit, entweder den Zustandsvektor zu machen$\langle \Psi |$zeitabhängig u$A$zeitunabhängig (das Schrödinger-Bild) oder umgekehrt (das Heisenberg-Bild). Im Schrödinger-Bild definieren wir $|\Psi(t)\rangle$um der Vektor zu sein, der verwendet werden kann, um Vorhersagen für die Zeit zu treffen$t$laut Formel$\langle \mathrm{A}(t) \rangle = \langle \Psi(t) | A | \Psi(t) \rangle$. Der Vektor$|\Psi(t)\rangle$sollte nicht als zu einem bestimmten Zeitpunkt physisch vorhanden interpretiert werden$t$! Daher vergeht keine "physische Zeit", was hoffentlich Ihre Verwirrung auflöst. Konventionell definieren wir auch das Observable$A$in der Weise, dass wir ein System relativ zu einem bestimmten Bezugsrahmen analysieren und einen Zustandsvektor erhalten$|\Psi\rangle$, Dann$\langle \mathrm{A} \rangle = \langle \Psi | A | \Psi \rangle$wird eine Vorhersage für die Zeit sein$0$dieses Rahmens.

Daher ist per Definition der Zustandsvektor, der aus der Analyse des Systems in Bezug auf den aktuellen Rahmen erhalten wird$|\Psi(0)\rangle$. Betrachten wir einen Beobachter in einem anderen Rahmen, dessen Zeit$0$entspricht der Zeit$t$im aktuellen Frame wird der Zustandsvektor, den sie erhalten, notwendigerweise sein$|\Psi(t)\rangle$, da es verwendet werden kann, um Vorhersagen für die Zeit zu erhalten$t$des Originalrahmens. Denn der zweite Frame ist einfach eine zeitliche Übersetzung des ersten um$-t$, sind die beiden Zustandsvektoren miteinander verbunden$|\Psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\Psi(0)\rangle$, und durch Differenzieren erhalten wir Gleichung 3.38.

Sie haben Recht mit den Bildern der Quantenmechanik, und das Argument, das über Ballentines Ableitung hinausgeht, kann so wiederholt werden, wie Sie es getan haben. Das einzige, was man hier einwenden könnte, ist, wenn Sie das sagen$t$ist keine physische Zeit.

Eine gründliche Diskussion über die Rolle der Zeit in den Grundlagen der Physik findet sich in Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics , denn wie bereits erwähnt, ist die Rolle der Zeit in der nicht-relativistischen Quantenmechanik die gleiche wie in der klassischen Mechanik: nur ein Parameter. Sie können dies auch in Ballentines Buch sehen, direkt unter Gleichung (3.2) betrachtet der Autor eine Familie von Operatoren$U(s)$Wo$s$ein beliebiger stetiger Parameter ist . Später, gleich über Gleichung (3.38) steht das$t=s$. Das ist also$t$, ein kontinuierlicher Parameter.

Warum erweist sich der Umgang mit dem Zeitbegriff in der Quantenmechanik dann als schwierig? Denn in der klassischen Mechanik verlässt man sich auf die tägliche physikalische Erfahrung und die Zeit ist einfach da (wie in den Grundlagen der klassischen Mechanik). Auch wenn es schwierig sein könnte, Zeit zu definieren, weiß jeder, was Sie meinen, wenn Sie in der klassischen Mechanik von Zeit sprechen. Der Unterschied sind also die Einschränkungen, die wir in der Quantenmechanik haben, um uns auf die tägliche Erfahrung zu verlassen, weil alles makroskopisch ist.

Abschließend, wenn Sie möchten, können Sie betrachten$t$als etwas Nicht-Physisches, nur eine mathematische Einheit, ein kontinuierlicher Parameter, der eine einheitliche Transformation definiert$e^{isH}=e^{itH}$. Dabei sind alle Ihre Argumente korrekt, keine Einwände. Daran finde ich jedoch nichts Falsches$t$Als physikalische Zeit, obwohl wir in unserer täglichen Erfahrung keine mikroskopischen Systeme sehen, ist die Zeit-Übersetzung, die Sie am Ende definiert haben, genau die gleiche Übersetzung, die wir in der klassischen Mechanik erfahren.

Mit dieser Klarstellung werde ich nur einige Kommentare zu anderen Dingen machen, auf die Sie sich beziehen, und schließlich Ballentines Argument mit allen Zwischendetails neu formulieren:

1. Beide Bilder der Quantenmechanik können beliebig verwendet werden. Daher sollte es eine Situation geben, in der sie zusammenfallen und es ist$t=0$. Wir haben (hochgestellte Zeichen stehen für Heisenberg- und Schrödinger-Bilder):

$$A^{H}(t=0)=A^{S},$$ für Betreiber u

$$|\psi^{S}(t=0)\rangle=|\psi^{H}\rangle,$$ für Staaten.

Wichtig ist, dass die Erwartungswerte unabhängig vom gewählten Bild gleich sind (deshalb sagte ich, dass sie beliebig verwendet werden können), also haben wir:

$$\langle\psi(t)|A|\psi(t)\rangle=\langle\psi|A(t)|\psi\rangle$$

Für weitere Informationen zu den Bildern empfehle ich Ihnen das Kapitel 2 von Sakurai's Modern Quantum Mechanics .

2. Sagen Sie das jetzt im Rahmen$O$Sie kennen die Physik zur Zeit$t$(oder parameter$s=t$falls Sie es wollen). Für einen zweiten Rahmen$O'$die gleiche Physik tritt auf$t'$was sich als Zeit herausstellt$t+r$gegenüber$O$. Jetzt sollten Sie zu Abb. 3.1 in Ballentines Buch und der Diskussion darunter gehen. Da die Physik für jeden Frame gleich ist:

$$|\psi'(t')\rangle=|\psi(t)\rangle$$

Aber der Staat für$O'$ist nur eine Zeitübersetzung in Bezug auf$O$, So:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t)\rangle,$$

wo es seltsam erscheint, dasselbe zu haben$t'$links, aber Sie müssen bedenken, dass Sie in Schrödingers Bild arbeiten, welche Änderungen sind die Zustände ($\psi$Zu$\psi'$) und nicht der Parameter.

Endlich,$t'=t+r$wie gesagt, also$t=t'-r$Und:

$$e^{isH}|\psi(t')\rangle=|\psi(t'-r)\rangle.$$

An diesem Punkt sagt Ballentine „putten$s=t'$“ und wir erhalten:

$$e^{it'H}|\psi(t')\rangle=|\psi(0)\rangle.$$

Aber Sie möchten dies invertieren, um Folgendes zu erhalten:

$$|\psi(t')\rangle=e^{-it'H}|\psi(0)\rangle,$$

oder nur

$$|\psi(t)\rangle=e^{-itH}|\psi(0)\rangle.$$

Das sind alle Zwischenzustände für Ballentines Ableitung, ich zeige Ihnen nur den strengen Weg, aber Ihr Argument ist im Wesentlichen dasselbe.

Schließlich folgt daraus Gleichung (3.38), indem man wie gesagt die Ableitung nach der Zeit bildet.