Quantenmechanik und Lorentzsymmetrie

Der Betreiber P in der Quantenmechanik ist der Generator für die Translationstransformation. Wir haben:

exp ⁡ ( ich P A ) | X ⟩ = | X + A ⟩

Ähnlich denke ich der Betreiber X ist der Generator für die Galileo-Transformation:

exp ⁡ ( − ich X Q ) | P ⟩ = | P + Q ⟩

Stimmt das letztlich nicht mit den Lorentz-Transformationen überein? Haben wir uns bei der Konstruktion der Quantenmechanik irgendwo auf Galileo-Transformationen gestützt?

BEARBEITEN: Entschuldigung, ich habe gerade herausgefunden, dass die Summierung des Impulses nichts mit Galileo-Transformationen zu tun hat ... Wie auch immer, wenn Sie mich auf weitere Informationen verweisen oder mir einige Einblicke darüber geben könnten, wäre ich Ihnen dankbar. Wie:

Welche Transformation erzeugt der Positionsoperator?

Der Lorentz-Boost ist eine einheitliche Transformation. Was ist das zugehörige Oversable? (Was passiert, wenn wir die Galileo-Transformation in Betracht ziehen?)

Ich bin mir nicht ganz sicher, was du fragst. Wenn Sie fragen, ob die Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar ist, lautet die Antwort nein . Die Standardversion der Quantenmechanik ist nichtrelativistisch. Man muss zur relativistischen Quantenmechanik oder besser gesagt zur Quantenfeldtheorie gehen, um Quantenmechanik und Relativitätstheorie zusammen zu machen.
Das. Und ein Lorentz-Boost ist keine einheitliche Transformation.
Die Dirac-Gleichung ist ein Zwischenschritt zwischen Schrödingers Gleichung und QFT.

Antworten (1)

In der nicht-relativistischen Quantenmechanik, die sich auf eine irreduzible projektive einheitliche Darstellung der Galileo-Gruppe bezieht, bis hin zu einem multiplikativen Faktor (der Masse), tritt der Ortsoperator natürlich als Generator der Boost-Transformation auf. Dies entspricht der Standardübersetzung im Impulsraum.

In der relativistischen QM hört die Standardtranslation im Impulsraum auf, eine Symmetrie zu sein, und der Erzeuger des Boosts hat eine andere Form.

Die relativistische Definition des Positionsoperators ist komplizierter. Es ist möglich, verwendet aber einen anderen Ansatz, der technisch auf den sogenannten Imprimitivitätsstrukturen basiert . Es ist möglich zu beweisen, dass für elementare Systeme (einheitliche irreduzible Darstellungen der Poincaré-Gruppe) die Positionsobservable für massive Systeme eindeutig definiert ist, ansonsten ist sie je nach Wert des Spins nicht immer wohldefiniert. Der Positionsoperator wird auch als Newton-Wigner-Positionsoperator bezeichnet .

Eine gute Referenz ist das Buch von Varadarajan Geometry of Quantum Theory , in einem der letzten Kapitel wird das Problem im Detail untersucht. Auch in Barut Raczkas Lehrbuch Theory of Group Representations and Applications gibt es eine ausführliche, aber weniger strenge Diskussion in einem der letzten Kapitel.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Und gibt es auch in der relativistischen QM eine einheitliche Darstellung der Lorentz-Gruppe? Wenn ja, ist der Generator des Boosts ein beobachtbares Objekt?
Ja ist es. Es ist ein explizit zeitabhängiger Operator. Seine Erhaltungsregel führt zum sogenannten Schwerpunktssatz, der in der relativistischen Theorie keine triviale Folge der Impulserhaltung ist. Im Wesentlichen, weil der Begriff der Masse einen Teil der Energie beinhaltet ...
Und Sie haben auch gesagt, dass die Standardübersetzung im Impulsraum auch eine Symmetrie ist. Ich denke, es ist kein Teil der Poincaré-Gruppe? Oder ist es?
Für massive spinlose Elementarsysteme, wenn K J ( T ) ist der Boost-Generator entlang der Richtung X J , wir haben K J ( 0 ) = 1 2 ( X J P 0 + P 0 X J ) Wo X J ist der Positionsoperator ... Sie sehen das in der nichtrelativistischen Grenze P 0 ∼ M ICH so dass K J ( 0 ) = M X J .
Momenta-Übersetzungen sind Symmetrien in dem Sinne, dass sie durch einheitliche Operatoren beschrieben werden, aber sie sind keine dynamischen Symmetrien in dem Sinne, dass sie keine Erhaltungsgrößen mittels einer Quantenversion des Noether-Theorems hervorrufen, nur weil sie keine Elemente von sind die selbstadjungierte Darstellung der Lie-Algebra der Poincaré-Gruppe.
Wenn diese Impulsübersetzungen unitäre Operatoren sind, haben sie meiner Meinung nach Generatoren? Was sind das für Generatoren? Sind sie nicht beobachtbar?
Sie sind per Definition die Positionsoperatoren!
Ah ja! Vielen Dank! Ich denke, jetzt ist alles an seinem Platz. Danke!
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