Wie arbeite ich mit ∇2+k2−−−−−−−√∇2+k2\sqrt{\nabla^2+k^2 } auf ψψ\psi?

Wie funktioniert der del-Operator ( ∇ ) wirken hier auf die Wellenfunktion:

( ∇ 2 + k 2 ) exp ⁡ ( − ich k z ) ψ .

Ich versuche, eine Gleichung zu lösen, die diesen Faktor hat. k ist eine Konstante. Ich habe den Teil zunächst in Ruhe gelassen und den Rest der Gleichung gelöst, aber keine genaue Antwort erhalten.

Ohne mehr Kontext zu Ihrem Problem ist es schwierig, Ihnen zu sagen, wie Sie vorgehen sollten. Siehe zB Geschichte der Dirac-Gleichung , die sich zunächst mit einem ähnlichen Operator befasst.

Antworten (1)

Dieser Operator ist viel einfacher zu verstehen, wenn Sie mit der Fourier-Transformation arbeiten,

ψ ( R → ) = ∫ D 3 P e ich P → ⋅ R → ψ ~ ( P → )
Die Multiplikation an e − ich k → ⋅ R → (mit k X = k j = 0 , k z = k in Ihrem Fall) entspricht,
e − ich k → ⋅ R → ψ ( X , j , z ) = ∫ D 3 P e ich P → ⋅ R → ψ ~ ( P → + k → )
Die Hauptidee ist, dass diese Exponenten Eigenfunktionen des Laplace-Operators sind Δ = ∇ 2 ,
Δ e ich P → ⋅ R → = − ( P 2 ) e ich P → ⋅ R →
Dann fungiert Ihr Operator als,
Δ + k 2 e − ich k → R → ψ ( R → ) = ∫ D 3 P k 2 − P 2 e ich P → ⋅ R → ψ ~ ( P → + k → )
Ob eine solche Darstellung von Nutzen ist, hängt natürlich vom Rest der Gleichung ab

Um genau zu sein, aber um das zu beweisen Δ + k 2 wirkt als Vielfaches der Identität auf die Igenstates von Δ man sollte immer noch die Taylor-Entwicklung der Quadratwurzel eines Operators verwenden, was äquivalent dazu ist, nur die Taylor-Entwicklung der Quadratwurzel zu verwenden, ohne die Fourier-Transformation zu verwenden.
@GennaroTedesco Tut es nicht X keine Taylor-Erweiterung? Was genau meinst du?
@knzhou Sicher, das tut es: Ich wollte nur betonen, dass immer noch die Fourier-Transformation den Prozess der Erweiterung eines Operators nicht verbirgt.
@GennaroTedesco Nun, wenn Sie vertreten wollen X = ∑ k A k X k eine solche Darstellung existiert nicht . Die Quadratwurzel des Operators A ist als Operator definiert B so dass B 2 = A . Die Art und Weise, wie ich es nehme, ist die Standardmethode, um die Hauptquadratwurzel zu erhalten, an der man normalerweise interessiert ist.
@OON "eine solche Darstellung existiert nicht" , außer dass sie über das Spektraltheorem definiert wird. Aussagen wie B ∣ B 2 = A müssen immer zusammen mit den entsprechenden Domänen usw. beabsichtigt sein: Ihre Antwort ist richtig, ich wollte nur darauf hinweisen, dass es nicht anders ist, als die spektrale Zerlegung selbst zu betrachten.
@GennaroTedesco Sicher sollten Sie über Domains usw. sprechen. Der Punkt ist ein anderer. Wenn Sie darauf bestehen, dass eine solche Vertretung existiert, schreiben Sie sie . Auch nicht für Operatoren, nur als Repräsentation der Zahlenfunktion X . Sicherlich kann man da eine Serie in der Nähe erweitern X ≠ 0 aber für operatoren bekommt man dann eine reihe von serien, deren eigenschaft einzeln nachgewiesen werden sollte B 2 = A . Ihr allererster Kommentar führt zu etwas Wildem, während die gleichzeitige Diagonalisierbarkeit überhaupt nicht von der Reihendarstellung abhängt.
@OON Ich stimme Ihnen zu, aber all diese wilden Komplikationen werden genau gelöst, indem zuerst die Operatoren in ihrem Spektrum dargestellt und dann auf jede Funktion in der Domäne erweitert werden. Sie haben die Aktion des Operators auf seiner Basis korrekt bewiesen, aber die gesamte Erweiterung auf eine beliebige Funktion in der Domäne ist der nicht triviale Teil. Nehmen Sie gemäß der Zahlenfunktion der Quadratwurzel einfach eine Nachbarschaft, in der die Funktion analytisch ist, und berechnen Sie die Erweiterung dort (ich verstehe diesen Teil des Kommentars nicht).
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