Austausch des Erwartungswerts des abgeleiteten Operators mit der Ableitung des Erwartungswerts

Meine Frage hängt etwas mit dieser zusammen . Ich will wissen ob

D D k ⟨ F ^ k ⟩ ψ k = ⟨ D D k F ^ k ⟩ ψ k

gilt für einen quantenzahlähnlichen Parameter k und jeder Betreiber F ^ k . Ich benutze den Brief k weil es eine Variable ähnlich dem Kristallimpuls in der Festkörperphysik sein könnte. Beachten Sie, dass die Staaten | ψ k ⟩ von dieser Quantenzahl "abhängen". Sie kann als stetig angenommen werden, um eine wohldefinierte Differenzierung zu ermöglichen. Es ist kein "externer Parameter", dh etwas am System, das geändert werden kann. Ändert sich das, ob dies gilt oder nicht?

Dies kann natürlich umgeschrieben werden als

D D k ⟨ F ^ k ⟩ ψ k = ⟨ D D k F ^ k ⟩ ψ k + D ⟨ ψ k | D k F ^ k | ψ k ⟩ + ⟨ ψ k | F ^ k D | ψ k ⟩ D k

Aber ich weiß nicht, wie ich von dort aus weitermachen soll. Gibt es eine Möglichkeit das zu zeigen?

Expandieren | ψ k ⟩ in Eigenzuständen von F ^ und erinnern Sie sich an die Störungstheorie erster Ordnung.
@CosmasZachos Ich kann sehen, wo die Erweiterung helfen kann, aber nicht, wie die Störungstheorie hilft.
Die Ableitung um einen Punkt herum ist im Wesentlichen eine Erweiterung erster Ordnung in der Exkursion um diesen Punkt, nicht wahr?
Tipp: vor bedeutungsloser Abstraktion experimentieren F ^ = σ 3 + ϵ σ 1 in ein paar Staaten. Versuchen | ψ ⟩ = ( cos ⁡ θ − ϵ Sünde ⁡ θ , Sünde ⁡ θ + ϵ cos ⁡ θ ) T . Hält Ihre Vermutung?
@CosmasZachos Meinst du für die zweite Gleichung oder die erste? Warum brauche ich | ψ ⟩ dieses Formular in diesem Fall zu haben? Oder meinst du das für die Erweiterung?
Ihre zweite Gleichung ist ausnahmslos und trivial. Ihre erste ist eine Vermutung. Probieren Sie alle Wellenfunktionen aus. Ich habe dir eine einfache gegeben.
@CosmasZachos Würde θ dann sei der Parameter k aus meiner Frage? Muss ich nehmen ϵ → 0 schließlich?

Antworten (1)

Hier ist ein Hinweis, um Ihre Intuition zu unterstützen, bevor Sie sich auf Abstraktionen und Verallgemeinerungen einlassen.

Ein Derivat ist ( F ^ ϵ − F ^ 0 ) / ϵ zur niedrigsten Ordnung in ε .

Nehmen

F ^ ϵ = σ 3 + 3 ϵ σ 1   .

Betrachten Sie den Staat

| ψ ϵ ⟩ = ( cos ⁡ 𝜃 − 𝜖 Sünde ⁡ 𝜃 , Sünde ⁡ 𝜃 + 𝜖 cos ⁡ 𝜃 ) T ,
auf niedrigste Ordnung in ε normiert .

Sie untersuchen dann das Verschwinden oder Nichtverschwinden des Ausdrucks

( ⟨ ψ ϵ | σ 3 + 3 ϵ σ 1 | ψ ϵ ⟩ − ⟨ ψ 0 | σ 3 | ψ 0 ⟩ ) − ⟨ ψ ϵ | 3 ϵ σ 1 | ψ ϵ ⟩   .
Hinweis: ( 2 ϵ cos ⁡ 𝜃 Sünde ⁡ 𝜃 ) − 6 ϵ cos ⁡ 𝜃 Sünde ⁡ 𝜃 = − 4 ϵ cos ⁡ 𝜃 Sünde ⁡ 𝜃 ≠ 0 .

Austausch des Erwartungswerts des abgeleiteten Operators mit der Ableitung des Erwartungswerts
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