Variation einer zeitlich geordneten Exponentialfunktion

Betrachten Sie die zeitlich geordnete Exponentialfunktion (Wilson-Linie):

$$U(t_{f},t_{i}) = \mathcal{T}\text{exp}\left(-i\int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{A}(t)dt\right)\tag{1}$$

Wo$\mathcal{A}(t)$ist eine matrixwertige Funktion (Messverbindung) und$\mathcal{T}$bezeichnet die Zeitreihenfolge.

Ich möchte die Variation erster Ordnung berechnen$\delta U(t_{f},t_{i})$, unter einer Transformation:

$$\mathcal{A}\mapsto\mathcal{A}+\delta\mathcal{A}\tag{2}$$

Es gibt wahrscheinlich einen cleveren Weg, dies zu tun, aber bisher konnte ich nur mit der Definition arbeiten. Folgendes habe ich gefunden.

$$\begin{align*} U(t_{f},t_{i})\mapsto & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left((\mathcal{A}(t_{1}+\delta\mathcal{A}(t_{1})\cdots(\mathcal{A}(t_{n}+\delta\mathcal{A}(t_{n})\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left(\mathcal{A}(t_{1})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+(\delta\mathcal{A})(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+\cdots\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ &= U(t_{f},t_{i}) + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^{n}}{n!}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\cdots \int_{t_{i}}^{t_{f}}\mathcal{T}\left((\delta\mathcal{A})(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n})+\cdots+\mathcal{A}(t_{1})\mathcal{A}(t_{2})\cdots\mathcal{A}(t_{n-1})(\delta\mathcal{A})(t_{n})\right)dt_{1}\cdots dt_{n} \\ \end{align*}\tag{3}$$ Wo wir Terme mehr als linear in den Variationen fallen gelassen haben und wo jeder Term die Form eines Produkts von hat$\mathcal{A}(t_{i})$'s mit einem einzelnen Begriff, der durch eine Variation ersetzt wurde$(\delta\mathcal{A})(t_{i})$.

Das gewünschte Ergebnis ist:

$$\delta U(t_{f},t_{i}) = -i\int_{t_{i}}^{t_{f}}U(t_{f},t)(\delta\mathcal{A})(t)U(t,t_{i})dt.\tag{4}$$

Ich konnte zeigen, dass die beiden Seiten der zweiten Ordnung zustimmen, und ich kann irgendwie verstehen, wie sich das bewegt$(\delta\mathcal{A})(t_{j})$Es wird durch die Zeit der bestellten Ware führen$U(t_{f},t)$erscheinen auf der linken Seite und$U(t,t_{i})$auf der rechten Seite, aber nach ein paar Stunden Herumspielen habe ich Probleme mit den Einzelheiten. Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

BEARBEITEN:

Mit der Antwort von Qmechanic konnte ich die Gruppeneigenschaft der zeitgeordneten Exponentiale und eine Diskretisierung der Zeit nutzen, um Folgendes zu finden:

$$\delta U(t_{n},t_{1})=\sum_{i=1}^{n}U(t_n,t_{i+1})\delta U(t_{i+1},t_{i})U(t_{i},t_{1})$$ Intervall nehmen$|t_{i+1}-t_{i}|<<1$Lassen Sie uns dann die Zeitreihenfolge in diesem Intervall außer Acht lassen, sodass:

$$U(t_{i+1},t_{i}) \mapsto \text{exp}\left(-i\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}\mathcal{A}(t)+\delta\mathcal{A}(t)dt\right) \approx e^{(t_{i+1}-t_{i})(\mathcal{A}(t_{i})+\delta\mathcal{A}(t_{i}))}$$

Wenn wir jetzt davon ausgehen$\delta\mathcal{A}(t_{i})$Und$\mathcal{A}(t_{i})$pendeln, ist es leicht zu sehen, dass:

$$\delta U(t_{i+1},t_{i}) = -i(t_{i+1}-t_{i})U(t_{i+1},t_{i})\delta\mathcal{A}(t_{i})$$

Was zusammen mit der Gruppeneigenschaft meine Summe in eine Riemann-Summe verwandelt und in der Kontinuumsgrenze das gewünschte Integral ergibt. Ich verstehe jedoch nicht, warum diese Kommutativität gelten sollte. Es gibt wahrscheinlich einen ziemlich offensichtlichen allgemeinen Grund, aber ich kann ihn anscheinend nicht sehen und würde mich über eine Klarstellung freuen.