Die untere Energiegrenze ist das potentielle Minimum

Angenommen, wir haben ein Massenteilchen M das ist in einem Eigenzustand | ψ ⟩ des Hamiltonian H ^ = T ^ + v ^ , Wo T ^ ist der kinetische Energieoperator und v ^ = v ( R ^ ) ist der potentielle Energieoperator. Wenn das Potential eine untere Grenze hat v 0 , dann ist es für den Energieeigenwert notwendig E von | ψ ⟩ größer sein als v 0 ? Klassisch ist das richtig, da wir negative kinetische Energie als physikalisch nicht realisierbar/sinnlos ansehen. Ich weiß jedoch nicht, ob ich das im Fall der Quanten unbedingt auch sagen kann. Zum Beispiel bin ich versucht zu schreiben

⟨ ψ | T ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | E − v ^ | ψ ⟩

und sagen "Wenn E < v 0 , dann ist die RHS notwendigerweise negativ, was bedeutet, dass die LHS ebenfalls negativ ist, was wir als physikalisch bedeutungslos betrachten werden. Wenn E = v 0 , Dann | ψ ⟩ ist trivial.", aber ich bin mir nicht sicher, ob das stimmt.

Verwirrt davon wollte ich dann zeigen, ob E < v 0 , dann eine nicht-triviale | ψ ⟩ ist nicht normalisierbar. Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, wie ich das machen soll.

@AccidentalFourierTransform Oh, tut mir leid, nein, nachdem ich mich ein bisschen genauer damit befasst habe, denke ich, dass Ihre Antwort in Ordnung ist. Ich warte einfach immer eine Weile, bevor ich eine Antwort annehme. :)

Antworten (1)

Der Betreiber T ^ ist positiv definit (ae), was für die meisten Kets bedeutet | φ ⟩ ≠ 0 du hast

⟨ φ | T ^ | φ ⟩ > 0

Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist die T ^ ist quadratisch in P ^ , die selbstadjungiert ist. Deshalb

⟨ φ | T ^ | φ ⟩ = 1 2 M ⟨ φ | P ^ 2 | φ ⟩ = 1 2 M | | P ^ | φ ⟩ | | 2 > 0

Alternativ wissen wir das T ^ ist proportional zum Laplace-Operator − Δ , was positiv definit (ae) ist, siehe zum Beispiel Der Minus-Laplace-Operator ist positiv definit .

Damit ist das leicht zu erkennen

E = ⟨ φ | T ^ + v ^ | φ ⟩ ≥ ⟨ φ | v ^ | φ ⟩ ≥ v 0 ⟨ φ | φ ⟩ = v 0

Entschuldigung für die Verspätung, aber warum | | P ^ | φ ⟩ | | > 0 halten ae?
@ test123 Weil | | ⋅ | | eine Norm ist, ist sie positiv definit. Es ist streng positiv, es sei denn, das Argument ist der Nullvektor.
Danke für die Antwort, aber das würde bedeuten P ^ | ψ ⟩ ≠ 0 äh so P ^ ist ae injektiv. Ist das vielleicht irgendein Satz aus der Funktionalanalysis?
@test123 Von P ^ | ψ ⟩ ≠ 0 ae Ich meine das für die meisten Kets | ψ ⟩ , die ket P ^ | ψ ⟩ ist ungleich Null. Dies ist kein tiefer Satz, sondern nur die Aussage, dass die meisten Funktionen nicht konstant sind.
Es tut mir sehr leid, dass ich Sie damit belästige, aber mein Punkt ist genau, dass ich einfach nicht verstehe, warum P ^ | ψ ⟩ sollte fast überall ungleich Null sein. Darauf bezog ich mich
@ test123 Ich denke, Sie erwarten einen tieferen Punkt als den, den ich versuche zu machen. Wähle eine Zufallsfunktion. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die konstante Funktion handelt? Die Antwort ist Null. Die meisten Funktionen sind nicht einmal stetig, geschweige denn konstant!
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