Vereinfachung eines Bra-Ket-Ausdrucks

Der Grund ist, dass$H_0$als Observable ist hermitesch$H_0 = H_0^\dagger$. Das heißt, Sie können verwenden

$$\langle\Psi_b|H_0 r|\Psi_a\rangle = (\langle\Psi_a|r^\dagger H_0^\dagger|\Psi_b\rangle)^\ast = (\langle\Psi_a|r^\dagger H_0|\Psi_b\rangle)^\ast$$

Man könnte auch einfach sagen, dass es Teil der Definition der Klammernotation ist, dass Operatoren$A$innen agieren als$A$nach rechts und wie$A^\dagger$Nach links.

Hier ist eine alternative Ableitung, die die Erweiterung der Einheit verwendet:

$$\mathbb{1}=\sum_c \vert \psi_c\rangle\langle \psi_c\vert$$ eher als explizite Hermitizität.

Aus

$$\begin{align} \langle\psi_b\vert H_0 r\vert\psi_a\rangle= \langle\psi_b\vert H_0\mathbb{1} r\vert\psi_a\rangle =\sum_c\langle\psi_b\vert H_0\vert\psi_c\rangle\langle \psi_c\vert r\vert\psi_a\rangle\, . \end{align}$$ In diesem Stadium verwenden$H_0\vert\psi_c\rangle = E_c\vert\psi_c\rangle$zu bekommen $$\begin{align} \langle \psi_b\vert H_0 r\vert\psi_a\rangle &= \sum_c E_c\langle\psi_b\vert\psi_c\rangle\langle\psi_c\vert r\vert\psi_a\rangle\, ,\\ &=E_b\langle \psi_b\vert r\vert\psi_a\rangle, \end{align}$$ wo im letzten Schritt$\langle \psi_b\vert\psi_c\rangle=\delta_{bc}$wurde verwendet, um die Summe zu eliminieren.