Wie wirkt sich die Matrixdarstellung eines Hamiltonoperators auf die Eigenwerte aus?

Angenommen, wir haben den folgenden Hamilton-Operator:

H ^ = ω ℏ ( S ^ + 2 + S ^ − 2 )
Nehmen wir auch an, wir messen S → 2 und bekomme 6 ℏ 2 , dh reduziert auf die S = 2 Unterraum und wollen alle möglichen Energien finden (auch bekannt als die Eigenwerte des Hamilton-Operators in der relevanten Basis).

Offensichtlich besteht die relevante Basis aus den Eigenzuständen { | 2 , M ⟩ } des Spinprojektionsoperators. Ich habe die Matrixelemente von berechnet H ^ auf dieser Basis und bekam folgendes 5 × 5 Matrix:

H ^ = ℏ ω (   | 2 , 2 ⟩ | 2 , 1 ⟩ | 2 , 0 ⟩ | 2 , − 1 ⟩ | 2 , − 2 ⟩ | 2 , 2 ⟩ 0 0 2 6 0 0 | 2 , 1 ⟩ 0 0 0 6 0 | 2 , 0 ⟩ 2 6 0 0 0 2 6 | 2 , − 1 ⟩ 0 6 0 0 0 | 2 , − 2 ⟩ 0 0 2 6 0 0 )

Es kann gezeigt werden, dass die Eigenwerte sind E = ± 4 3 ℏ ω , ± 6 ℏ ω , 0 , was in der Tat richtig ist. Die Berechnung war jedoch etwas mühsam.

Nun stellt sich heraus, dass es eine einfachere Matrixdarstellung von gibt H ^ auf gleicher Grundlage . Das hat mit der speziellen Struktur des Hamilton-Operators zu tun, der sowohl steigende als auch fallende Operatoren im Quadrat hat. Dies teilt die Basis natürlich in zwei Gruppen: { | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ } Und { | 2 , 1 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ } die unter den Aktionen von geschlossen sind S ^ ± 2 . Wir können also die Basis neu ordnen und erhalten die folgende Blockdiagonalform

H ^ = ℏ ω (   | 2 , 1 ⟩ | 2 , − 1 ⟩ | 2 , 2 ⟩ | 2 , 0 ⟩ | 2 , − 2 ⟩ | 2 , 1 ⟩ 0 6 0 0 0 | 2 , − 1 ⟩ 6 0 0 0 0 | 2 , 2 ⟩ 0 0 0 2 6 0 | 2 , 0 ⟩ 0 0 2 6 0 2 6 | 2 , − 2 ⟩ 0 0 0 2 6 0 )

was sehr bequem ist, weil wir jetzt, um die Eigenwerte zu finden, zwei kleinere Matrizen analysieren können. Zum Glück sind die Eigenwerte gleich.

Frage : Das wissen wir allgemein aus der linearen Algebra, das Vertauschen/Ändern der Reihenfolge von Zeilen/Spalten (was hier genau passiert ist) ändert die Eigenwerte. Allerdings blieben in diesem Fall die Eigenwerte gleich. Ich verstehe den physikalischen Grund dahinter, aber wie lässt sich das mathematisch begründen? Angenommen, wir wüssten nichts über die Struktur des Hamiltonoperators (oder wären alternativ nicht schlau genug zu erkennen, dass die Basis bequem in zwei „spezielle“ Untergruppen aufgeteilt werden kann). Gibt es einen mathematischen Weg, um die "beste" Anordnung von Basisvektoren zu finden, sodass die Matrixdarstellung eines bestimmten Operators eine blockdiagonale Form annimmt? Und gibt es eine mathematische Begründung dafür, warum die Eigenwerte gleich bleiben, nachdem wir die Reihenfolge der Zeilen/Spalten geändert haben? Vielleicht hat es damit zu tun, dass die Matrix (Operator) symmetrisch (hermitesch) ist?

Wissen Sie, dass, wenn ein normaler Operator in zwei verschiedenen Basen diagonal ist, die Eigenwerte (und ihre Multiplizitäten) gleich bleiben?
@Qmechanic - Ich weiß, dass Eigenwerte unabhängig von der Wahl der Basis sind, wenn Sie das meinen.

Antworten (1)

Ihre 2 Matrizen unterscheiden sich nur durch die gleiche Neuanordnung von Zeilen und Spalten, die die Eigenwerte nicht ändert. Um genau zu sein, lass P sei die Permutation, die dauert { | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 1 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ ) } Zu { | 2 , 1 ⟩ , | 2 , − 1 ⟩ , | 2 , 2 ⟩ , | 2 , 0 ⟩ , | 2 , − 2 ⟩ ) } .

P kann konstruiert werden, indem man zum Beispiel betrachtet

| 2 , 2 ⟩ ↦ ( 1 0 0 0 0 )
etc, so dass die erste Spalte von P wäre ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ⊤ und P würde nehmen ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ⊤ → ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) ⊤ .
Dann werden Ihre Matrizen durch die Ähnlichkeitstransformation in Beziehung gesetzt
P H ^ 1 P − 1 = H ^ 2
und damit sind die Eigenwerte beider gleich. Alternativ werden Ihre Matrizen durch einen von erzeugten Basiswechsel in Beziehung gesetzt P , haben also beide die gleichen Eigenwerte.

(NB: Ich hoffe, ich habe meine P − 1 Und P an der richtigen Stelle, aber das Argument ist stichhaltig.)

Danke schön! Mit anderen Worten gilt die folgende allgemeine mathematische Aussage: Jede gleichzeitige Zeilen- und Spaltenpermutation einer Matrix behält ihre Eigenwerte unverändert bei. Richtig?
Ja. Es ist dann gleichbedeutend mit einer Änderung der Basis, bei der Sie die Vektoren neu anordnen. Mit anderen Worten, Sie hätten die ganze Zeit Ihre 2. Ordnung von Basisvektoren verwenden können; natürlich hängen die Eigenwerte nicht von dieser Reihenfolge ab.
Wie wirkt sich die Matrixdarstellung eines Hamiltonoperators auf die Eigenwerte aus?
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