Wie wirkt ein Operator der Form eβH^eβH^e^{\beta \hat{H}} auf einen Eigenzustand?

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}$Gehen wir einen Schritt zurück und betrachten wir einen beliebigen linearen Operator$H$(Ich mag es nicht, Hüte auf Operatoren zu setzen). Sie wissen wahrscheinlich aus Ihrem Unterricht in linearer Algebra, wie man auf einen Vektor reagiert$\ket \psi$. Nun, es ist nur$H \ket \psi = \ket \varphi$, was natürlich ein weiterer Vektor in Ihrem Vektorraum ist, den ich genannt habe$\ket \varphi$. Jetzt wissen Sie wahrscheinlich auch, wie$H^2$wirkt auf einen Vektor; Sie handeln nämlich nur mit dem Betreiber$H$zweimal:

$$H^2 \ket \psi = H (H \ket \psi) = H \ket \varphi = \ket \chi$$

wo ich den Vektor definiert habe$\ket \chi := H \ket \varphi$

Durch Induktion wissen Sie auch, wie$H^n$handelt für$n \in \mathbb N$.

Denken Sie auch daran, dass Sie sich in einem Vektorraum befinden, dh Sie können zwei Vektoren addieren, insbesondere zwei lineare Operatoren. Schauen wir uns zum Beispiel den Operator an$H^2+H$:

$$(H^2+H) \ket \psi = H^2 \ket \psi + H \ket \psi = \ket \chi + \ket \varphi$$

Wieder durch Induktion wissen Sie für ein Polynom$p(x) = \sum_{k=1}^n a_k x^k$, Wo$a_k \in \mathbb C$einige konstante Koeffizienten, wie der Operator$p(H)$wirkt auf Staaten:

$$p(H) \ket \psi = \sum_{k=1}^n a_k (H^k \ket \psi)$$

Ohne uns allzu viele Gedanken über Konvergenzprobleme zu machen (wir sind Physiker (!)), können wir die Exponentialabbildung eines Operators definieren:

$$\exp(H) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, H^n \implies \exp(H) \ket \psi = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, (H^n \ket \psi)$$

Das Ergebnis ist, dass Sie die Exponentialfunktion eines Operators definieren müssen und daran führt kein Weg vorbei. Es gibt jedoch einen Sonderfall, wenn Sie beispielsweise einen Eigenvektor des Operators haben. Nehmen wir an, dass der Vektor$\ket E$ist ein Eigenvektor von$H$mit Eigenwert$E$dh$H \ket E = E \ket E$, dann haben wir:

$$\exp(H) \ket E = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{1}{n!} \, (H^n \ket E ) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{E^n}{n!}\ket E = \exp(E)\ket E$$

Analog können Sie sich davon überzeugen, ob Sie eine Funktion schreiben können$f$in Taylor-Serien und wenn$\ket E$ist ein Eigenvektor von$H$wie oben dann haben wir$f(H) \ket E = f(E) \ket E$.

Ich hoffe, dass dies Ihnen hilft, die Exponentialfunktion eines Operators zu verstehen. Wenn Sie Fragen haben, zögern Sie nicht zu fragen!

Die Exponentialfunktion eines Operators wird durch seine Reihenentwicklung definiert :

$$\begin{align} e^{\beta \hat H}&= \hat 1 +\beta \hat H+\frac{1}{2}\beta^2\hat H^2+\ldots \, ,\\ &=\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\, .\tag{1} \end{align}$$ Wenn $\vert\psi\rangle$ist ein Eigenzustand von $\hat H$so dass $$\hat H\vert\psi\rangle=\lambda\vert\psi\rangle\, ,\quad \hat H^2\vert\psi\rangle=\lambda^2\vert\psi\rangle\, ,\quad \hat H^n\vert\psi\rangle=\lambda^n\vert\psi\rangle$$ Dann $$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle =\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\vert\psi\rangle =\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \lambda^k}{k!}\vert\psi\rangle =e^{\beta \lambda}\vert\psi\rangle\, .$$

Wenn$\vert\psi\rangle$kein Eigenzustand ist, gibt es weniger Optionen. Arbeiten Sie zunächst im Detail

$$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle=\sum_{k=0}^\infty \frac{\beta^k \hat H^k}{k!}\vert\psi\rangle \tag{2}$$ und hoffen, dass jeder $\hat H^k\vert\psi\rangle$vereinfacht werden kann. Dies tritt beispielsweise bei Pauli-Matrizen auf, bei denen - sagen wir - $\hat H=\sigma_j$Und $\sigma_j^2=\hat 1$für alle $j=x,y,z$. Es kann dann möglich sein, die Reihe in (2) fortzusetzen.

Die zweite Alternative ist die Erweiterung$\vert\psi\rangle$in Bezug auf Eigenzustände von$\hat H$. Also wenn$\vert\mu_\alpha\rangle$ist so das

$$\begin{align} \hat H\vert\mu_\alpha\rangle&=\lambda_\alpha\vert\mu_\alpha\rangle\, ,\\ \vert\psi\rangle&=\sum_{\alpha}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle \end{align}$$ Dann $$e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle=\sum_{\alpha}e^{\beta\hat H}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle =\sum_{\alpha}e^{\beta\lambda_\alpha}\vert\mu_\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle$$ was nicht weiter pauschal zusammengefasst werden kann.

Sie können zum Beispiel noch berechnen,

$$\begin{align} \langle\psi\vert e^{\beta \hat H}\vert\psi\rangle &= \sum_{\alpha\kappa}e^{\beta \lambda_\alpha} \langle\psi\vert\mu_\kappa\rangle \langle \mu_\kappa\vert\mu _\alpha\rangle\langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle\, ,\\ &= \sum_{\alpha}e^{\beta \lambda_\alpha} \langle\psi\vert\mu_\alpha\rangle \langle \mu_\alpha\vert\psi\rangle \end{align}$$ Wo $\langle \mu_\kappa\vert\mu _\alpha\rangle=\delta_{\mu\alpha}$wurde verwendet.

Die Definition des Matrix-Exponentials kommt direkt aus der Taylor-Entwicklung von$e^x$. Daher können Sie ihre Definition immer durch das Exponential der Matrix ersetzen.

Sie können die Taylor-Erweiterung in dem von Ihnen bereitgestellten Beispiel weiterhin verwenden. Du nimmst einfach$x$sein$\beta \hat{H}$und wenden Sie die Taylor-Entwicklung wie gewohnt an.