Woher wissen wir, dass ψψ\psi die Eigenfunktion eines Operators H^H^\hat{H} mit Eigenwert WWW ist?

Du verstehst deine Fakten überhaupt nicht richtig.

Woher wir das wissen$\langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx$oder dies $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + W_p$dass wir eine Eigenfunktion und einen Eigenwert haben.

Antwort: Wir nicht.

Alles, was ich über Betreiber weiß$\bar{H}$bisher ist diese Gleichung wo$\langle W \rangle$ist ein Energieerwartungswert:

$$\begin{align} \langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx \end{align}$$

Nein, tust du nicht.

Hier ist die mathematische Seite dessen, was eine Eigenfunktion und ein Eigenwert sind:

Gegeben sei eine lineare Transformation$T : V \to V$, Wo$V$ein unendlichdimensionaler Hilbert- oder Banachraum ist, dann ein Skalar$\lambda$ist genau dann ein Eigenwert, wenn es einen Nicht-Null-Vektor gibt$v$so dass$T(v) = \lambda v$.

Hier ist die physikalische Seite (dh QM):

Wir postulieren, dass der Zustand eines Systems durch einen abstrakten Vektor (Ket genannt) beschrieben wird.$|\Psi\rangle$das gehört zu einem abstrakten Hilbert-Raum$\mathcal{H}$.

Als nächstes postulieren wir, dass sich dieser Zustand mit der Zeit durch einen hermiteschen Operator entwickelt$H$, die wir den Hamilton-Operator nennen, über die Schrödinger-Gleichung. Was ist$H$? Sie raten und vergleichen mit experimentellen Ergebnissen (das ist sowieso Physik).

Als nächstes postulieren wir für jede messbare Größe, dass es einen hermiteschen Operator gibt$O$, und wir postulieren weiter, dass der Durchschnitt vieler Messungen von$O$wird von gegeben$\langle O \rangle = \langle \Psi | O | \Psi \rangle$.

Verbindung zu Wellenfunktionen: Wir wählen den Hilbert-Raum$L^2(\mathbb{R}^3)$einarbeiten, also$\Psi(x) = \langle x | \Psi \rangle$, Und$\langle O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*(x) O(x) \Psi(x) dx$.

Okay, das ist das Ende. Die Form von$H$folgt nicht aus dem Energieerwartungswert.

Warten! Ich habe noch nicht einmal über Eigenwerte und Eigenfunktionen gesprochen. Das ist ein unnötiger Beitrag!

Antwort: Nun, das müssen Sie nicht. Aber es ist nützlich, die Eigenwerte und Eigenfunktionen von zu finden$H$, weil die Eigenfunktionen von$H$bilden eine Grundlage des Hilbert-Raums, und bestimmte Ausdrücke werden diagonal/leichter manipulierbar, wenn wir beliebige Berechnungen durchführen.

Um also die Eigenwerte von zu finden$H$, lösen wir einfach die Eigenwertgleichung wie oben angegeben: Lösen

Wie Alfred Centauri sagt, wollen wir einfach die Eigenfunktionen von finden$H$. Eine subtilere Frage wäre, woher wissen wir, dass sie existieren? Die Antwort liegt in der Spektraltheorie und der Sturm-Liouville-Theorie, aber egal, wir als Physiker gehen davon aus, dass sie immer existieren.

Also deine Zusatzfrage:

$\hat{a} \psi$ist eine Eigenfunktion des Operators$\hat{H}$mit Eigenwert$(W-\hbar \omega)$.

Tja.... das folgt gleich. Sie sagten, Sie hätten das bereits bewiesen$H a^\dagger \psi = (W - \hbar \omega) a^\dagger \psi$. Also hier$T$=$H$,$a^\dagger \psi = v$, Und$\lambda = (W - \hbar \omega)$. was eine Eigenwertgleichung ist$T(v) = \lambda v$. Daher,$a^\dagger \psi$ist eine Eigenfunktion von$H$mit Eigenwert$(W-\hbar \omega)$.

Zuerst brauche ich eine Erklärung, woher wir das wissen?

Es ist vorgeschrieben .

Vielleicht hilft es Ihrem Verständnis, wenn wir es so formulieren:

Lassen $\psi$eine Eigenfunktion eines Operators sein$\hat{H}$mit Eigenwert$W$.

(Aktualisierung, um den Kommentar des OP zu adressieren).

Spektralsatz :

Satz . Es existiert eine orthonormale Basis von V, die aus Eigenvektoren von A besteht. Jeder Eigenwert ist reell.

Oben ist A ein hermitescher Operator. In QM der Hamilton-Operator$\hat{H}$, ist ein hermitescher Operator, der der klassischen Gesamtenergieobservablen entspricht.

Der Spektralsatz garantiert im Wesentlichen, dass es nicht nur Eigenfunktionen (Eigenvektoren, Eigenzustände) mit reellen Eigenwerten gibt, die hermiteschen Operatoren zugeordnet sind, sondern dass die Menge dieser Eigenzustände vollständig ist, dh dass jeder mögliche Zustand des Systems als gewichtete Summe von ausgedrückt werden kann die Eigenzustände des Operators.

Wir wissen also, dass Eigenzustände und Eigenwerte damit verbunden sind$\hat{H}$.$\psi$ist nur ein Label für einen bestimmten und$W$ist nur ein Label für den zugehörigen Eigenwert.