Wie transformiert sich der kanonische Impuls pi≡∂L∂q˙ipi≡∂L∂q˙ip_i\equiv\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} bei einem Koordinatenwechsel q→Qq→Q\mathbf q\ zu\mathbf Q?

1) In krummlinigen Koordinaten $x^i$,$i=1,2,3$, mit Metrik$g_{ij}=g_{ij}(x)$, lautet die nicht-relativistische Lagrangedichte für ein geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld

$$L~=~T-U, \qquad T~=~\frac{m}{2}\dot{x}^i g_{ij} \dot{x}^j , \qquad U ~=~ q(\phi - \dot{x}^i A_i),$$

Wo$q$ist die Ladung. Das kanonische Momentum ist

$$p_i ~=~\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^i} ~=~ mg_{ij} \dot{x}^j + q A_i,$$

und der Hamiltonian wird

$$H ~=~ \frac{(p_i -q A_i) g^{ij} (p_j -q A_j)}{2m} + q\phi,$$

Wo$g^{ij}$ist die inverse Metrik.

2) Diese Formeln verhalten sich bei Koordinatenänderung kovariant$x^i \to x^{\prime j}=x^{\prime j}(x)$im Positionsraum. Die verallgemeinerte Geschwindigkeit

$$\dot{x}^{\prime j}~=~\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}\dot{x}^i$$

verhält sich wie ein Vektorfeld , während das magnetische Potential

$$A_i~=~A^{\prime}_j ~\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i},$$

und das kanonische Momentum

$$p_i~=~p^{\prime}_j ~\frac{\partial x^{\prime j}}{\partial x^i}$$

verhalten sich wie Covektorfelder (oder äquivalent als Eins-Formen). Der Lagrange$L$, der Hamiltonian$H$, und das elektrische Potential$\phi$sind Skalare (=invariant).

3) Lassen Sie uns schließlich das elektrische Feld erwähnen

$$E_i~=-\frac{\partial \phi}{\partial x^i} -\frac{\partial A_i}{\partial t}$$

ist ein Kovektorfeld und das Magnetfeld

$$B^i~=\sqrt{g} ~\epsilon^{ijk}\frac{\partial A_k}{\partial x^j}, \qquad g~=~\det g_{ij}, \qquad \epsilon^{123}~=~+1,$$

ist ein Vektorfeld bzgl. Änderung der Koordinaten$x^i \to x^{\prime j}=x^{\prime j}(x)$im Positionsraum.

Die Antwort hängt davon ab, wie allgemein ein Lagrangian (oder äquivalent Hamiltonian) Sie zulassen möchten. Der allgemeinste Lagrangeoperator erlaubt sicherlich beliebige Funktionen von$q,p$und deren Vermischung. Wenn dem so ist, sollten Sie nicht über den Koordinatenraum für nachdenken$q$nur. Man muss über den ganzen Phasenraum nachdenken und Transformationen auf den ganzen Raum koordinieren, dh Reparametrisierungen$(q_i,p_i)$. Der Phasenraum ist ein symplektischer Raum, dh einer, der mit einer nichtsingulären Antisymmetrie ausgestattet ist$\omega_{ab}$Tensor, Codierung der Poisson-Klammern von$\{X_a,X_b\}$Wo$X=q$oder$p$.

In eingeschränkteren Kontexten können Sie die Phasenraumkoordinaten in die Koordinaten trennen$q$und Momente$p$. Wenn Sie das so machen,$p_i$leben in einem Tangentialraum der Mannigfaltigkeit, der von aufgespannt wird$q_i$. Der gesamte Phasenraum kann als Faserbündel interpretiert werden$q_i$-erzeugter Phasenraum. Die erste Identität, die Sie geschrieben haben,$p_i=\partial L / \partial \dot q_i$, gibt Ihnen eine Beziehung zwischen$\dot q_i$Variablen und$p_i$das kann auch davon abhängen$q_i$. Wegen der Geschwindigkeiten$\dot q_i$als Tangentenvektoren (einschließlich der detaillierten Werte der Komponenten) auf die transformieren$q$Konfigurationsbereich, Sie wissen auch, wie$p_i$transformiert.

Jedenfalls halte ich es für etwas irreführend, sich das vorzustellen$p_i$ist eine Art "Feld", das in der definiert ist$q$Raum. In Wirklichkeit,$p_i$sind zusätzliche Koordinaten des Phasenraums. Sie haben möglicherweise eine besondere Beziehung zu den$q$Da aber die Transformationen der Zahlenwerte komplex sein können, wirken beide auf$q$Und$p$, und vom Lagrange- oder Hamilton-Operator beeinflusst werden, der sehr nichtlinear und kompliziert sein kann.