Warum ist nicht F=∂L∂qF=∂L∂qF = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}?

Allgemeine Bemerkungen.

Den Impuls definierst du in der ersten Gleichung, nämlich

$$\begin{align} p = \frac{\partial L}{\partial \dot q} \end{align}$$ ist nicht unbedingt derselbe Impuls, der in Newtons zweitem Gesetz erscheint. Dieser Impuls wird als kanonischer Impuls konjugiert zu bezeichnet $q$, und es kann ganz anders sein als der Impuls, an den Sie gewöhnt sind (der im zweiten Hauptsatz erscheint), abhängig von den verallgemeinerten Koordinaten $q$man wählt, den Konfigurationsraum des Systems zu parametrisieren.

Beispiel: Freies Teilchen in der Ebene.

Stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich frei in der Ebene bewegt. Wir können Polarkoordinaten wählen$(\rho, \phi)$auf der Ebene, mit der die Ebene parametrisiert werden soll, und in diesen Koordinaten liest die Lagrange-Funktion

$$\begin{align} L(\rho, \phi) = \frac{1}{2}m(\dot \rho^2 + \rho^2\dot\phi^2), \end{align}$$ in diesem Fall entspricht der kanonische Impuls $\phi$liest $$\begin{align} p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot \phi} = m\rho^2\dot\phi. \end{align}$$ Was ist diese Menge? Ist es das Momentum, das im zweiten Hauptsatz erscheint? Sicherlich nicht; die Einheiten stimmen nicht. Was soll man also daraus machen? Nun, erinnern Sie sich, dass der Drehimpuls eines solchen Teilchens ist $$\begin{align} \mathbf L = \mathbf x\times \mathbf p \end{align}$$ Wo $\mathbf p = m\dot{\mathbf x}$ist der Schwung, den Sie vom Zweiten Hauptsatz gewohnt sind. Wenn wir dies in Polarkoordinaten schreiben, dann erhalten wir $$\begin{align} \mathbf L = \rho\hat{\boldsymbol\rho} \times m(\dot\rho\hat{\boldsymbol \rho} + \rho\dot\phi\hat{\boldsymbol\phi}) = m\rho^2\dot\phi\hat{\mathbf z} = p_\phi\hat {\mathbf z}, \end{align}$$ so finden wir das $p_\phi$ist der Drehimpuls des Teilchens! Beachten Sie jedoch, dass wir dieselbe Lagrange-Funktion in kartesischen Koordinaten schreiben würden $(x,y)$, dann würden wir feststellen, dass die konjugierten kanonischen Impulse sind $$\begin{align} p_x = m\dot x, \qquad p_y = m\dot y \end{align}$$ das sind die Komponenten des Impulses, der im zweiten Hauptsatz erscheint. Mit anderen Worten, der kanonische Impuls und der Impuls, die im zweiten Hauptsatz erscheinen, sind nur dann gleich, wenn man sich dafür entscheidet, die Lagrange-Funktion in kartesischen Koordinaten zu schreiben.

Nachtrag. Kartesischen Koordinaten

Stellen Sie sich ein System aus einem einzelnen Teilchen vor, das sich unter dem Einfluss einer konservativen, geschwindigkeitsunabhängigen Kraft in drei Dimensionen bewegt$\mathbf F$, nämlich ein System, für das es eine Funktion gibt$V = V(\mathbf x)$, die potentielle Energie, so dass

$$\begin{align} \mathbf F = -\nabla V \tag{$\star$} \end{align}$$ Die Lagrange-Funktion für ein solches System ist gegeben durch $$\begin{align} L(\mathbf x, \dot{\mathbf x}) = \frac{1}{2} m\dot{\mathbf x}^2 - V(\mathbf x), \end{align}$$ woraus folgt $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x^i} = -\frac{\partial V}{\partial x^i}, \end{align}$$ sondern durch $(\star)$der Ausdruck auf der rechten Seite ist einfach der $i$te Komponente $F_i$der Kraft, so haben wir es in der Tat $$\begin{align} \frac{\partial L}{\partial x^i} = F_i \end{align}$$ in diesem Fall. Dies kann auf einfache Weise auf eine beliebige Anzahl von Teilchen verallgemeinert werden. Tatsächlich wird es in den Notizen diskutiert, auf die Airwoz in seinem Kommentar verlinkt hat.