Erhaltung des linearen Impulses am Stoßpunkt

Question

Erhaltung des linearen Impulses am Stoßpunkt

neugieriger Entdecker

Dies ist eine ziemlich grundlegende konzeptionelle Frage zur Erhaltung des linearen Impulses.

Betrachten Sie ein isoliertes System von 2 Masseteilchen mit fester Masse $m_1$ Und $m_2$ mit Geschwindigkeiten aufeinander zu bewegen $v_1(t)$ Und $v_2(t)$ bzw.

Nun besagt die Impulserhaltung, dass zu jedem Zeitpunkt während der Bewegung der Teilchen die Menge

M_{1} v_{1} (T) + M_{2} v_{2} (T) = C Ö N S T A N T

$m_1v_1(t) + m_2v_2(t) =constant$

Bei Geschwindigkeiten ungleich Null und Massen ungleich Null ist diese Konstante ungleich Null .

Nehmen wir an, die Teilchen kollidieren zur Zeit $t_0$ . Am Stoßpunkt haben beide Teilchen die Geschwindigkeit Null . was bedeuten würde, dass die obige Konstante Null ist. Widerspruch.

Mir ist klar, dass ich am Punkt der Kollision mit meiner Argumentation falsch liegen könnte.

Tatsächlich halte ich es für nicht einmal sinnvoll, die Geschwindigkeit an diesem Punkt zu definieren, da man die Verschiebungsfunktionen berücksichtigt $x_i(t)$ $i=1,2$ der Teilchen, dann $t_0$ würde einen Punkt der Nichtdifferenzierbarkeit von darstellen $x_i(t)$ für $i=1,2$ .

Unter der Annahme, dass es keine Kollisionen gibt, kann ich anhand der Lehrbuchableitung sehen, warum

M_{1} v_{1} (T) + M_{2} v_{2} (T) = C_{1}

$m_1v_1(t) + m_2v_2(t) = C_1$ vor dem Zusammenstoß u

M_{1} v_{1} (T) + M_{2} v_{2} (T) = C_{2}

$m_1v_1(t) + m_2v_2(t) = C_2$ nach der Kollision

stimmen würde, aber nicht warum $C_1=C_2$

Kann mir jemand bei der Klärung helfen?

linksherum

"Bei Geschwindigkeiten ungleich Null und Massen ungleich Null wird diese Konstante ungleich Null sein." Nicht-sequitur. Bei gleichen Massen und entgegengesetzten Geschwindigkeiten wird sie tatsächlich Null sein, was „zufälligerweise“ auch der einzige Fall ist, in dem „Am Stoßpunkt haben beide Teilchen die Geschwindigkeit Null“ möglich ist. Auch bei Null-Dauer-Kollisionen gäbe es hier also keinen Widerspruch.

Antworten (2)

Erhaltung des linearen Impulses am Stoßpunkt

"Bei Geschwindigkeiten ungleich Null und Massen ungleich Null wird diese Konstante ungleich Null sein." Nicht-sequitur. Bei gleichen Massen und entgegengesetzten Geschwindigkeiten wird sie tatsächlich Null sein, was „zufälligerweise“ auch der einzige Fall ist, in dem „Am Stoßpunkt haben beide Teilchen die Geschwindigkeit Null“ möglich ist. Auch bei Null-Dauer-Kollisionen gäbe es hier also keinen Widerspruch.

John Rennie · Answer 1

Anstatt die Kollision so zu behandeln, als ob sie augenblicklich passiert, dh null Zeit in Anspruch nimmt, nehmen Sie an, dass sie eine unbekannte, aber von null verschiedene Zeit benötigt und während dieser Zeit eine gewisse Kraft zwischen den kollidierenden Körpern vorhanden ist. $F(t)$ das ist eine Funktion der Zeit.

Die Änderung des Impulses von Objekt 1 ist nur der Impuls $J$ gegeben von:

J_{1} = \int F_{12} D T

$J_1 = \int \space F_{12} dt$

Aber Newtons drittes Gesetz sagt uns, dass die Kraft auf das zweite Objekt gleich und entgegengesetzt zu der Kraft auf den ersten Körper ist, also ist die Impulsänderung für den zweiten Körper der Impuls:

J_{2} = \int - F_{12} D T = - J_{1}

$J_2 = \int \space -F_{12} dt = -J_1$

Und daher ist die gesamte Impulsänderung während des Stoßes Null.

Beachten Sie, dass wir keine Annahmen darüber getroffen haben, wie lange die Kollision dauert oder welche Kräfte dabei wirken. Sie können die Kollisionszeit gegen Null tendieren lassen, aber wenn Sie dies tun, tendiert die Kraft gegen unendlich und Sie haben das unphysikalische Problem, eine unendliche Kraft für die Zeit Null zu integrieren.

Die Kollision als Nullzeitereignis zu behandeln, war also der Hauptfehler. Man kann also auch während des Stoßes davon ausgehen, dass die Geschwindigkeitsfunktion weiterhin definiert ist, nur dass sie sich sehr schnell ändert (große Beschleunigung). Ist das korrekt?
Ja. Bei jeder realen Kollision dauert die Kollision eine begrenzte Zeit, während sich die Körper verformen. Sogar für Elementarteilchen, z. B. im LHC, ist die Kollision nicht augenblicklich, da die Teilchen über eine Kraft (stark, schwach usw.) über eine Entfernung ungleich Null interagieren.

Bernhard · Answer 2

Während der Kollision übt Teilchen 1 eine Kraft auf Teilchen 2 aus. Nennen wir diese Kraft $F_{12}(t)$ . Jetzt übt Teilchen 2 gleichzeitig eine Kraft auf Teilchen aus, $F_{21}(t)$ . Nach dem dritten Newtonschen Gesetz gilt $F_{21}(t)=-F_{12}(t)$ .

Angenommen, die Kollision geschieht aus $t=0$ bis $t=\tau$ , Dann $F_{12}(t)=0$ außerhalb dieses Intervalls.

Aus Newtons zweitem Bewegungsgesetz erhalten wir für das erste Teilchen:

M_{1} \frac{D v_{1}}{D T} = F_{21} = - F_{12}

$m_1 \frac{dv_1}{dt}=F_{21}=-F_{12}$

Oder mit anderen Worten

M_{1} v_{1} (τ) - M_{1} v_{1} (0) = - \int_{0}^{τ} F_{12} D T

$m_1v_1(\tau)-m_1v_1(0)=-\int_0^\tau F_{12}dt$

Und für Teilchen 2

M_{2} v_{2} (τ) - M_{2} v_{2} (0) = \int_{0}^{τ} F_{12} D T

$m_2v_2(\tau)-m_2v_2(0)=\int_0^\tau F_{12}dt$

Der Begriff auf der rechten Seite wird auch als Impuls bezeichnet .

Sehen Sie sich nun an, was passiert, wenn wir die letzten beiden Gleichungen addieren:

M_{1} v_{1} (τ) - M_{1} v_{1} (0) + M_{2} v_{2} (τ) - M_{2} v_{2} (0) = - \int_{0}^{τ} F_{12} D T + \int_{0}^{τ} F_{12} D T

$m_1v_1(\tau)-m_1v_1(0)+m_2v_2(\tau)-m_2v_2(0)=-\int_0^\tau F_{12}dt+\int_0^\tau F_{12}dt$

Oder mit anderen Worten

M_{1} v_{1} (0) + M_{2} v_{2} (0) = M_{1} v_{1} (τ) + M_{2} v_{2} (τ)

$m_1v_1(0)+m_2v_2(0)=m_1v_1(\tau)+m_2v_2(\tau)$

Und somit

C_{1} = C_{2}

$C_1=C_2$

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