Endgeschwindigkeit zweier kollidierender Protonen berechnen?

Wie Sie gesagt haben, ist die Coulomb-Kraft eine innere Kraft. Daher bleibt der Impuls immer erhalten und beide Methoden würden dieselbe Antwort geben (die erste).

Sie müssen drei Dinge erkennen:

1. Impulserhaltung ist nur eine andere Darstellungsweise der Newtonschen Gesetze.
2. Dies ist eine Situation der vollständig elastischen Kollision mit$e=1$. Hier wirkt die Abstoßung zwischen den Protonen als Feder.

3. Beim Zusammenstoß zweier Körper muss immer ein Moment kommen, in dem sich beide Körper mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Wenn dies geschieht, ist die potentielle Energie innerhalb des Systems maximal. In Ihrem Fall würden die inneren Coulomb-Kräfte die Protonen abstoßen und wegnehmen, nachdem die Körper gleiche Geschwindigkeiten erreicht haben, sodass sie ihre Geschwindigkeiten austauschen.

Aber wann würde die Kollision enden?

Nehmen wir an, dies ist die anfängliche elektrische potentielle Energie des Systems:$U_{electric-initial}= k\frac {q^2}{r}$

Die Kollision würde enden, wenn$U_{electric-final}=U_{electric-inital}$

Dies natürlich im Bereich der klassischen Mechanik. Wenn zwei Protonen kollidieren, können sie in Wirklichkeit neue Teilchen erzeugen.

tl;dr Bei unendlicher Anfangstrennung die Endgeschwindigkeiten der gegebenen Teilchen$P_1,P_2$wäre es tatsächlich$0,\sqrt{2 m_2E}$Wo$E$ist die gesamte Anfangsenergie des Systems

Bestimmte Klarstellungen sind angebracht

und p1 bewegt sich mit gleichförmiger horizontaler Geschwindigkeit

Bei der Coulomb-Streuung zweier Ladungen ist es der ankommenden Ladung nicht möglich, eine gleichmäßige Geschwindigkeit beizubehalten. Es erfährt notwendigerweise eine Beschleunigung im Feld der Quellenladung.

Ich habe die kolumbianische Streitmacht als eine innere Streitmacht betrachtet.

Unabhängig von Ihrer Überlegung muss die Coulomb-Wechselwirkung für Energie- und Impulserhaltungszwecke als intern betrachtet werden, da sie gleichermaßen und entgegengesetzt auf die beiden Ladungen wirkt.

Für einen elastischen Stoß$\ldots$

Streng genommen ist die Kollision nicht elastisch, da selbst bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten ein gewisser Energieverlust durch EM-Strahlung auftritt . Für unsere Zwecke können wir es jedoch als vernachlässigbar klein betrachten.

$\ldots$von zwei Objekten$\ldots$

Bei ausreichend niedrigen Energien behalten die anfänglich zwei Protonen ihre Anzahl bei, aber nicht unbedingt bei höheren Energien, bei denen neue Teilchen erzeugt werden können. Bei solch unglaublich hohen Energien ist es jedoch auch wahrscheinlich, dass die Proton-Proton-Wechselwirkung nicht mehr rein elektromagnetisch ist und unser Modell daher sowieso nicht zutrifft.

$\ldots$Endgeschwindigkeit p1 ist gegeben durch$\ldots$

Die von Ihnen verwendeten Formeln werden bei der harten Streuung von Punktobjekten verwendet - das Objekt hat die eingehenden Geschwindigkeiten$u_i$, ausgehende Geschwindigkeiten$v_i$und interagieren nur am Interaktionspunkt. Für immer vorher und nachher interagieren sie nicht und haben einheitliche Geschwindigkeiten. Dieses Modell gilt nicht für unsere zwei kollidierenden Protonen.

Tatsächlich wäre es angemessener, dies als Proton-Proton- oder pp-Streuung zu bezeichnen, im Gegensatz zu der klassisch annotierten „Kollision“, obwohl das nicht kriminell ist.

Kritik an „Erster Weg der Kollisionsanalyse“

Ungeachtet der oben erwähnten Unanwendbarkeit des Modells der harten Streuung gibt es weitere Probleme in Ihrer Anwendung:

• Die Formeln verwenden$u_2$- die Anfangsgeschwindigkeit des zweiten Protons$P_2$. Sie haben dies angenommen$0$. Warum? Wie Sie in Ihrem zweiten Ansatz bald feststellen, wird das zweite Proton aufgrund seiner Wechselwirkung mit dem ankommenden Teilchen in Bewegung versetzt. Die einzige Zeit, in der es jemals im Laborrahmen ruht, ist zu Beginn unserer Analyse. Wenn Sie also die Formeln in diesem Moment auswerten (das ist die Einstellung$u_2=0$impliziert) zählt kaum als Bewertung ihrer "endgültigen" Geschwindigkeiten. Werden Sie nicht zustimmen, dass ein besserer Moment, um ihn als „Moment der Kollision“ zu kennzeichnen, der Moment der größten Annäherung gewesen wäre, wenn nie anders? Ohne Begründung für die Anwendung der Formeln in der Anfangsepoche ist die Behandlung nicht gut begründet.
• Bei der weichen Streuung ändern sich die Geschwindigkeiten der Protonen ständig. Die einzigen sinnvollen „Anfangs“- und „End“-Geschwindigkeiten, über die man sprechen kann, sind diejenigen, bei denen die Kräfte auf jede von ihnen Null sind. Dies geschieht, wenn ihre Trennung unendlich ist. Zu diesem Zweck haben Sie nicht erwähnt, ob$P_1$Geschwindigkeit hat$a$im Unendlichen oder in einer endlichen Entfernung von$P_2$.

Das Endergebnis, zu dem Sie durch Ihre Argumentation bei diesem Ansatz gelangen, ist jedoch richtig. Bei unendlicher Trennung$^1$, die Endgeschwindigkeiten der gegebenen Teilchen$P_1,P_2$wäre es tatsächlich$0,\sqrt{2 m_2E}$Wo$E$ist die gesamte Anfangsenergie des Systems$^2$.

Warum funktionieren die harten Streuformeln wie beabsichtigt? Dies liegt daran, dass wir, wenn wir die Start- und Endzustände der Streuung als solche mit unendlicher Trennung betrachten, bzgl. dieser Epochen das Coulomb (oder jede Wechselwirkung (e) für diese Angelegenheit) in die interne Maschinerie des Wechselwirkungsscheitels bündeln können. Die Formeln für die harte Streuung sind von den Interna dieses Kollisionsscheitels agnostisch und verhalten sich so, als ob das ankommende Teilchen mit einem anderen Teilchen kollidieren würde - der einzige Unterschied besteht darin, dass der Scheitelpunkt kein Punkt mehr ist, sondern der gesamte Raum und die Interaktionszeit kein Augenblick, sondern unendlich sind . Ob dies Sie tatsächlich zu diesem Ansatz motiviert hat, ging aus Ihrer Frage nicht hervor.

Kritik an „Zweite Art der Kollisionsanalyse“

Das einzige, was hier fehlte, war, dass Sie Ihre Analyse im Moment der größten Annäherung abgebrochen haben. Warum? Wie im vorigen Abschnitt besprochen, sind die Endgeschwindigkeiten diejenigen, bei denen sich die Teilchen wieder unendlich weit voneinander entfernt haben. Nach ihrem relativ stationären Moment der engsten Annäherung treibt ihre gegenseitige Abstoßung sie also weg. Wegen der Symmetrie des Problems ist im COM-Rahmen die Kinematik über diese Epoche hinaus genau so, als ob die bis dahin zeitlich umgekehrt gewesen wäre.

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Fusszeile

$^1$Unter der Annahme, dass die Teilchen anfänglich auch unendlich getrennt waren; Es gibt jedoch eine Möglichkeit, das Argument auf endliche Trennungen zu erweitern.

$^2$Für die gegebene Konfiguration,

$$E=\frac{m_1 a^2}{2}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{L}\tag{SI units}$$

Wo$L$ist die anfängliche Trennung der beiden Ladungen.