Ist es möglich, das Ergebnis eines Aufpralls zu bestimmen, wenn man nur das Massenverhältnis kennt? [Duplikat]

Ich würde in diese Richtung argumentieren. Stellen Sie das System in den Massenmittelpunkt. Betrachten Sie dann beim Zusammenstoß die Ebene durch den Massenmittelpunkt und senkrecht zur Linie durch die Mittelpunkte der Kugeln. Da diese Ebene im Rahmen des Massenschwerpunkts fixiert ist, verhält sich diese wie eine Wand, gegen die die Kugeln schlagen, und daher werden die Geschwindigkeitsvektoren nach dem Stoß durch die üblichen Reflexionsgesetze des elastischen Stoßes einer Kugel gegen eine feste Wand bestimmt.

Es kann durch eine direkte Berechnung überprüft werden, dass dieses Argument in den Fällen die erwarteten Ergebnisse liefert

1. von$m_1=m_2$;
2. lineare Kollision, dh$\theta = 0$, und verschiedene Massen.

EDIT : Nach einer dringenden Nachfrage nach Details hier einige.

Angenommen Kugel$A$bewegt sich mit Geschwindigkeit$v_1$entlang der positiven Richtung der Horizontalen, dh$x$, Achse und die Kugel$B$ist stationär. Lassen$\theta$sei der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von$A$und die Linie durch die Mittelpunkte des Balls beim Aufprall. Bezeichne mit$\mu$das Verhältnis zwischen den beiden Massen, dh eingestellt

$$\mu=\frac{m_B}{m_A}.$$ Die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes ist gegeben durch $$\mathbf v_{cm} = \frac1{1+\mu}v_A\mathbf i,$$ und daher im Rahmen des Massenmittelpunkts, den wir haben $$\mathbf u_A =\frac\mu{1+\mu}v_A\mathbf i,\qquad\mathbf u_B =-\frac1{1+\mu}v_A\mathbf i.$$ Wenn auf dem Bild oben $A$ist der Ball auf der linken Seite und $B$ist der Ball rechts, haben wir nach dem Stoß Geschwindigkeiten $$\begin{align}\mathbf u_A' &=-\frac\mu{1+\mu}v_A\cos(2\theta)\mathbf i - \frac\mu{1+\mu}v_A\sin(2\theta)\mathbf j,\\\mathbf u_B'&=\frac1{1+\mu}v_A\mathbf\cos(2\theta)\mathbf i + \frac1{1+\mu}v_A\mathbf\sin(2\theta)\mathbf j.\end{align}$$ Der letzte Schritt besteht darin, alles auf den ursprünglichen Rahmen zurückzubringen, indem die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts wieder zu allen berechneten Geschwindigkeiten addiert wird, wodurch erhalten wird $$\begin{align}\mathbf v_A' &=\left(\frac1{1+\mu}-\frac\mu{1+\mu}\cos(2\theta)\right)v_A\mathbf i-\frac\mu{1+\mu}v_A\sin(2\theta)\mathbf j,\\\mathbf v_B'&=\frac1{1+\mu}\left(1+\cos(2\theta)\right)v_A\mathbf i +\frac1{1+\mu}v_A\mathbf\sin(2\theta)\mathbf j.\end{align}$$ Man sieht leicht, dass der Winkel der Kugel $B$ist das gleiche wie im Fall $\mu=1$, seit $$\tan(\theta_B) = \frac{\sin(2\theta)}{1+\cos(2\theta)} =\tan\theta,$$ während der Winkel der Kugel $A$hängt jetzt davon ab $\mu$durch $$\tan(\theta_A) = \frac{\sin(2\theta)}{\frac1\mu-\cos(2\theta)}.$$ Das kann man z $\mu=1$, das erwartete Ergebnis wird zurückerhalten, nämlich $$\mu = 1\quad\Rightarrow\quad\tan(\theta_A) = \cot(\theta).$$

Anmerkung Es versteht sich von selbst, dass diese Winkel korrigiert werden müssen, um in den rechten Quadranten zu fallen, also muss man auch die Vorzeichen der Komponente der Geschwindigkeiten berücksichtigen, was in den obigen Formeln nicht getan wird.

Die obigen Schritte zeigen, wie der Übergang zum Massenmittelpunkt das ursprüngliche Problem drastisch vereinfacht.

Hier ist die Lösung von$\theta_A$vs$\theta$Im Falle$\mu=3$. Bei$\theta = 60^\circ$der Winkel$\theta_A$ist ungefähr$46^\circ$, während bei$\theta = 0$, Rückstreuung wird vorhergesagt.

Ich werde das Problem folgendermaßen lösen. Nehmen wir an, die Linie der Mittelpunkte verläuft entlang der x-Achse. Anfangsgeschwindigkeit von$m_1$Ist$u_1$in einem Winkel$\theta$zur x-Achse. Endgeschwindigkeit von$m_{1}$Ist$v_1$in einem Winkel$\alpha$zur x-Achse. Die Endgeschwindigkeit von$m_2$Ist$v_2$und ist entlang der Linie der Mittelpunkte (der x-Achse), so dass$\alpha$ist der Winkel zwischen den Endgeschwindigkeiten der beiden Kugeln.

Zwei Impulserhaltungsgleichungen

$$m_1 u_1 \cos \theta = m_1 v_1 \cos \alpha + m_2 v_2\ \ \ \ (1)$$
$$m_1 u_1 \sin \theta = m_1 v_1 \sin \alpha\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Wenn$R= m_1/m_2$dann kann ich diese manipulieren, um sie zu geben

$$v_2 = R u_1 \left(\cos \theta - \cos\alpha \frac{\sin\theta}{\sin \alpha}\right)\ \ \ \ \ \ (3)$$

Jetzt unter Verwendung der Erhaltung der kinetischen Energie bei einem elastischen Stoß

$$m_1 u_1^{2} = m_1 v_1^{2} + m_2 v_2^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Ersatz für$v_2$aus (3) und verwenden$v_1 = u_1 \sin\theta /\sin \alpha$aus (2) erhalte ich nach ein bisschen Algebra den folgenden schrecklichen Ausdruck

$$R = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta \sin^2 \alpha - 2 \sin\theta \cos\theta \sin \alpha \cos\alpha + \sin^2\theta\cos^2\alpha}\ \ \ \ (5)$$

Wenn$\alpha=\pi/2$, dann ist tatsächlich die Lösung$R=1$für jeden Wert von$\theta$.

Aus Formel (5) oben. Ersatz$1/(1+\tan^2)$für$\cos^2$, Ersatz$1 - 1/(1+\tan^2)$für$\sin^2$und die entsprechenden Quadratwurzeln für$\cos$Und$\sin$. Dies ergibt eine Gleichung ausschließlich in Bezug auf$\tan\theta$Und$\tan \alpha$.

$$R = \frac{\tan^{2}\alpha(1+\tan^2\theta) -\tan^2\theta(1+\tan^2\alpha)}{\tan^2\alpha - 2\tan\theta\tan\alpha + \tan^2\theta}$$ Ordnen Sie dies in ein quadratisches In um $\tan^2\alpha$daher: $$(R-1)\tan^2\alpha -2R\tan\theta\tan\alpha +(R+1)\tan^2\theta = 0$$ Daher $$\tan\alpha = \tan\theta \left(\frac{R \pm 1}{R-1}\right)$$

Nur eine dieser Wurzeln ist sinnvoll

$$\tan\alpha = \tan\theta \left(\frac{R+1}{R-1}\right),$$ und natürlich einen negativen Wert von $\tan\alpha$bedeutet nur das $\alpha>90^{\circ}$.

EDIT: Testweise habe ich dies in ein grafisches Tool mit eingesteckt$\theta=60^{\circ}$(rote Kurve). Das Diagramm unten zeigt$R$vs$\alpha$(Erinnern Sie sich, dies ist der Winkel zwischen den endgültigen Geschwindigkeitsvektoren). Beachten Sie, dass der Mindestwert von$\alpha$Ist$60^{\circ}$Wenn$R$es ist sehr groß. Als$R$nimmt ab,$\alpha$wird größer und reicht über$73^{\circ}$(dh$13^{\circ}$von der x-Achse in Ihrem Diagramm) für$R=3$, Dann$90^{\circ}$für$R=1$, und über$106^{\circ}$($46^{\circ}$zur x-Achse in Ihrem Diagramm) für$R=1/3$. Für jeden gibt es eine einzigartige Kurve$\theta$(Die blaue Kurve zeigt$\theta=30^{\circ}$zum Vergleich). Beachten Sie, dass sich die roten und blauen Kurven nur bei kreuzen$R=1$. Dieser Wert von$R$ist die einzige, die den Trennwinkel eindeutig bestimmt, für alle anderen Werte von$R$es kommt auch darauf an$\theta$.

$R$vs$\alpha$für zwei Werte von$\theta$.