Können wir Newtons erstes Gesetz mathematisch erklären?

Dämon schreibt:

Der zweite Hauptsatz ist im Wesentlichen die mathematische Formulierung des ersten, f=ma, wobei f die unausgeglichene Kraft ist, die auf den anderen Körper wirkt.

Eigentlich ist es umgekehrt: Der erste Hauptsatz ist ein Sonderfall des zweiten Hauptsatzes, wobei F = 0 ist. Wirkt keine Kraft auf einen Körper, so ändert sich seine Geschwindigkeit nicht$F = 0 \rightarrow a = 0$

^{Hinweis: Um genau zu sein, was normalerweise als zweites Newtonsches Gesetz bezeichnet wird, ist eigentlich das erste Eulersche Gesetz}

Neben der prägnanten Antwort von Damon Blevins müssen Sie angeben, was ein Trägheitsrahmen ist, damit Sie Ihre Beschleunigung messen können. Eine praktische Antwort: Sie tragen einen Beschleunigungsmesser bei sich, und wenn dieser "null" misst, ist Damons Formulierung gut, und Newtons erstes Gesetz lautet, dass sich ein Körper ohne eine Nettokraft entweder mit Ihnen bewegt oder sich bewegt eine konstante Relativgeschwindigkeit zu dir.

Wenn Sie einfach ein allgemeines Koordinatensystem haben, in dem Sie eine Metrik gefunden haben$g$Wenn Sie die Einstein-Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie erfüllen, die die Verteilung der Masse im Universum um Sie herum beschreiben, lautet Newtons erstes Gesetz, dass jeder Körper in Abwesenheit einer Nettokraft einer geodätischen Linie folgen muss, die definiert ist durch:

Wo$s$ist ein geeigneter Parameter, der den Weg des Körpers parametrisiert (häufig die richtige Zeit) und$\Gamma$ist der Verbindungskoeffizient (Christoffel-Symbol), der standardmäßig aus der Metrik abgeleitet wird$g$:

Da die geodätische Gleichung zweiter Ordnung ist, ist jede solche Linie eindeutig durch die Raumzeitposition des Körpers und vier Geschwindigkeiten relativ zum Koordinatensystem at definiert$t=0$.

Im Wesentlichen definieren diese Gleichungen die Bewegung einer Punktmasse, die, wie Sie sagen, Schwerelosigkeit erfährt.

Das erste Gesetz ist wirklich nur die Aussage, dass Zwischenrahmen existieren.

$\sum \mathbf{F} = 0\; \Leftrightarrow\; \frac{\mathrm{d} \mathbf{v} }{\mathrm{d}t} = 0.$

Ist das gut genug?

Sie schreiben "Bei konstanter Geschwindigkeit gibt es keine Beschleunigung. (f'(x)=v'=0=a) . Wenn a=0, dann F=ma=0 und daher wirkt keine Kraft auf das Objekt, sodass das Objekt weitergeht dieselbe Richtung, falls vorhanden", was so klingt:

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, dann ist die Beschleunigung Null, und dann ist die Nettokraft Null (die das zweite Gesetz verwendet und das Gegenteil von Newtons erstem Gesetz ist, aber soweit alles richtig ist), aber dann machen Sie weiter und sagen, dass das Objekt fährt mit konstanter Geschwindigkeit fort. Aber das war Ihre Annahme, also ist es seltsam, dass es auch Ihre Schlussfolgerung ist. Wenn Sie nun beabsichtigten, dass Newtons erstes Gesetz erscheint, wo Sie sagen, dass "keine [Netto-] Kraft auf das Objekt einwirkt, sodass das Objekt in derselben Richtung weitergeht", ist dies der Kern des ersten Gesetzes. Aber es ist keine Erklärung.

Das erste Gesetz ist eine Ergänzung zum zweiten Gesetz. Das sagt das zweite Gesetz$F=ma$, aber leider$F=ma$sagt uns nicht, ob ruhende Objekte, die einer Nettokraft von Null ausgesetzt sind, in Ruhe bleiben oder sich zu bewegen beginnen (siehe Nichteindeutigkeit in den Lösungen der Newtonschen Bewegungsgleichung von Abhishek Dhar Am. J. Phys. 61, 58 (1993); http : //dx.doi.org/10.1119/1.17411 , um Lösungen für F=ma zu sehen, die Newtons erstes Gesetz verletzen).

Bearbeiten : Bearbeitet, um die Fragen zu beantworten.

Um Ihre Titelfrage zu beantworten, kann das erste Gesetz nicht aus Newtons anderen Gesetzen abgeleitet werden, daher kann es nicht in diesem Sinne erklärt werden. Wenn Sie eine mathematische Erklärung des ersten Gesetzes wünschen, können Sie schreiben:

Gegeben ein Kraftgesetz$F=F(x,v,t)$und jede der vielen möglichen Lösungen$x=x(t)$so dass$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$gilt für alle$t$dann wählt die körpereigene Neigung, bei konstanter Geschwindigkeit zu bleiben, einige Lösungen aus$x=x(t)$zugunsten anderer Lösungen. Insbesondere jede Lösung (dh$x=x(t)$so dass$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$gilt für alle$t$) das hat$x(t)=x(t_0)+(t-t_0)v(t_0)$halten für$t$in irgendeinem Intervall$[t_0,t_1]$(Wo$t_1 > t_0$, Und$F(x(t_0),v(t_0),t_0)=0$) wird gegenüber anderen Lösungen (other$x=x(t)$so dass$F(x(t),v(t),t)=m a(t)$gilt für alle$t$).

Dh wenn keine Nettokraft vorhanden ist, besteht die körpereigene Trägheit darauf, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt, und nicht nur, dass die Beschleunigung Null ist, wie es F=ma erfordern würde.

Wir können das erste Gesetz in Kraft sehen, indem wir uns ein Beispiel ansehen, wo es ins Spiel kommt. Die Funktion$x(t)=0$und die Funktion$x(t)=(Kt)^3$beide weisen eine Beschleunigung von null auf$t=0$, nur im ersteren ist die Geschwindigkeit konstant. So$x(t)=0$hat das ganze Intervall von$t$wo die Geschwindigkeit gleichmäßig ist, während$x(t)=(Kt)^3$nicht. Wenn sie beide Lösungen sind$F=ma$, Dann$F=ma$mag beides, aber das erste Gesetz besagt, dass die körpereigene Tendenz zur gleichförmigen Bewegung das erstere dem letzteren vorzieht. Beachten Sie, dass die Funktionen$x(t)$beide haben$x(0)=0$,$v(0)=0$,$a(0)=0$sondern nur die Lösung$x(0)=0$bleibt bei konstanter Geschwindigkeit, weil eine konstante Geschwindigkeit viel stärker ist, als nur die Geschwindigkeit langsam genug zu ändern$a=0$. Das erste Gesetz wählt diese einheitliche Bewegungslösung aus den vielen aus, die das zweite Gesetz erlaubt.

Sehen wir uns nun das erste Gesetz in Aktion an. Betrachten Sie ein Skalarpotential$V=-Cx^{(4/3)}$, Dann$F=ma$wählt als Lösungen Funktionen der Zeit$x=x(t)$so dass$ma=F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}$. Was sind einige Lösungen? Die Funktion$x(t)=0$ist eine Lösung, weil$F(x)=(4/3)Cx^{(1/3)}=0=m0=ma$. Was ist mit Funktionen wie$x(t)=(Kt)^3$? Sie haben$a(t)=K^36t$Und$x^{(1/3)}=Kt$, also brauchen wir$m(K^36t)=ma=F=(4/3)Cx^{(1/3)}=(4/3)CKt$, was wann gilt$K^2=\frac{2C}{9m}$. Also das Potenzial$-Cx^{(4/3)}$gibt ein Kraftgesetz an, das wo eine Lösung hat$x(t)=0$und eine andere Lösung, wo$x(t)=(2C/9m)^{(3/2)}t^3$. Beide haben$x(0)=0$, beide haben$v(0)=0$, sie erfüllen beide$F=ma$. Sie werden also beide vom zweiten Gesetz vorhergesagt, wenn wir das erste Gesetz nicht haben. Aber das erste Gesetz stellt fest, dass das erste,$x(t)=0$bleibt auf konstanter Geschwindigkeit, wenn keine Nettokraft wirkt. Newtons erstes Gesetz besagt, dass dies darauf zurückzuführen ist, dass der Körper seine eigene Tendenz hat, diese Lösung auszuwählen. Es ergänzt den zweiten Hauptsatz, weil der zweite Hauptsatz nicht besagt, dass der Körper auf konstanter Geschwindigkeit bleiben muss, nur dass er die Geschwindigkeit so langsam ändert$a=0$wenn die Kraft Null ist. Die Lösung$x(t)=(Kt)^3$ist ein Beispiel, bei dem die Geschwindigkeit niemals konstant ist. Stattdessen ändert sich die Geschwindigkeit lediglich langsam genug bei$t=0$erlauben$a(0)=0$wo die äußere Nettokraft Null ist.

Das erste Gesetz ist sehr, sehr mächtig, es sagt Ihnen, dass Sie, wenn Sie sehen, dass ein Körper seine gleichförmige Bewegung ändert, nach einer äußeren Kraft suchen sollten , und es sagt Ihnen, dass Sie es nicht tun sollten, wenn seine Bewegung gleichförmig bleibtnach äußeren Kräften suchen muss, dass es das selbst tun kann. Newton betrachtete Rotationen sogar als gleichförmige Bewegung. Es geht um äußere Kräfte versus körpereigene Kräfte. Wenn sich beispielsweise ein Körper dreht, wird er abgeflacht (dehnt sich um die Teile aus, die sich mit höherer Tangentialgeschwindigkeit bewegen), weil dies die inneren Kräfte erzeugt, die diese gleichmäßige Drehung erzwingen. Newton würde anmerken, dass die Erde rund um die Mitte abgeflacht ist, nicht wegen einer äußeren Kraft (die Gezeiten vom Mond wären ein Beispiel für eine äußere Kraft, und diese sind nicht konstant). Die Erde ist rundum in der Mitte abgeplattet, damit der Erdkörper seine eigene Kraft aufbringen kann, um sich in gleichmäßiger Rotation zu halten. Alle drei Gesetze wirken zusammen und bewirken etwas, zusammen mit seinem Weltsystem.

Das spricht die Titelfrage an.

Zur nächsten Frage, ob das erste Gesetz nur in der Schwerelosigkeit gilt. Sie können es jederzeit verwenden, wenn keine externe Nettokraft vorhanden ist. Wenn keine externe Nettokraft vorhanden ist,$F=ma$ermöglicht eine ungleichmäßige Bewegung. Das erste Gesetz besagt, dass der Körper seine eigene Tendenz zu gleichförmiger Bewegung hat. Diese Tendenz wird durch eine äußere Nettokraft außer Kraft gesetzt, also in solchen Situationen verwenden$F=ma$.

Damit ist die zweite Frage beantwortet.

Was Ihre letzte Frage betrifft, ob das, was Sie geschrieben haben, das erste Gesetz mathematisch erklärt, habe ich das am Anfang des Beitrags angesprochen. Ihre Aussagen gehen von einer gleichmäßigen Bewegung aus und schließen dann, dass es eine gleichmäßige Bewegung gibt, sodass Ihre Aussagen absolut nichts erklären. Das zweite Gesetz sagt uns bereits, dass Sie Ihre Geschwindigkeit langsam genug ändern müssen, um zu kommen, wenn keine Nettokraft vorhanden ist$a=0$(z.B$x(t)=0$, oder$x(t)=x(0)+v(0)t$oder auch$x(t)=x(0)+v(0)t+(Kt)^3$, die alle drei langsam genug ihre jeweilige Geschwindigkeit ändern$t=0$haben$a(0)=0$). Das erste Gesetz sagt Ihnen, dass, wenn die Nettokraft Null ist, eine zusätzliche Tendenz des Körpers besteht, seine gleichförmige Bewegung beizubehalten, und dass dies einsetzt und ihn tatsächlich dazu bringt, eine gleichförmige Bewegung aufrechtzuerhalten, wenn keine äußeren Nettokräfte wirken.

Newtons erstes Gesetz handelt von einer neu (nicht altgriechisch) hypothetischen Tendenz von Körpern, in gleichförmiger Bewegung zu bleiben. Es widersprach altgriechischen Traditionen. Die ersten beiden Gesetze zusammen geben uns mehr Informationen als das zweite Gesetz allein. Sie können also das erste Gesetz verwenden, um das zu ergänzen, was das zweite Gesetz Ihnen sagt. Jedes Gesetz kann verwendet werden, um etwas zu tun.

Sie können Masse- und Kraftgesetze aufstellen. Das dritte Bewegungsgesetz besagt, dass Kraftgesetze abgelehnt werden sollen, die keinen Impuls erhalten. Das zweite Gesetz besagt, dass man Verschiebungsgeschichten beobachten kann$x(t)$, und daraus Beschleunigungsverläufe berechnen$a(t)$und nutze sie zum vergleichen$x(t)$zu den Lösungen von$ma(t)=F(x(t),v(t),t)$, und lehnen damit Kraftgesetze ab. Das erste Gesetz besagt, dass man bestimmte Lösungen ablehnen kann$F=ma$, was großartig ist, da es sowieso zu viele Lösungen gibt.

Beim ersten Hauptsatz geht es zu 100% um die Beschränkung der Lösungen auf den zweiten Hauptsatz und dient somit als Ergänzung. Es sagt auch warum, und dass es die natürliche Tendenz eines Körpers ist, in gleichförmiger Bewegung zu bleiben, die ihn dazu bringt, in gleichförmiger Bewegung zu bleiben, wenn er keiner äußeren Nettokraft ausgesetzt ist.

Im Wesentlichen ist das zweite Gesetz die mathematische Formulierung des ersten,$F=ma,$ $F$ist die unausgeglichene Kraft, die auf den anderen Körper wirkt.

Es ist bereits beantwortet, aber ich werde noch einige Punkte hinzufügen.

Um das Erste Gesetz mathematisch zu formulieren, müssen wir zuerst das Zweite Gesetz formulieren .

Newtons zweites Gesetz :
Die Kraft, die die Beschleunigung verursacht, ist proportional zur Änderungsrate des Impulses mit der Zeit und wirkt in Richtung der Änderung.

Jetzt,$k$, per Definition von$1\ \text{Newton}$, Ist$1$ $(1\ N = 1\ ms^{-2})$.
$\therefore\ F=ma$

Wenn jetzt$F=0$, Entweder$a$oder$m$oder beide müssen Null sein. Wir wissen$m$ist also ungleich Null$a=0$. Das heisst

Newtons erstes Gesetz :
Ein Objekt in Ruhe bleibt in Ruhe und ein Objekt in Bewegung bleibt in Bewegung mit der gleichen Geschwindigkeit und in die gleiche Richtung, es sei denn, es wird eine unausgeglichene Kraft auf es einwirken.